Die Bewertung von Zinstiteln und Messung des Zinsänderungsrisikos mittels der Duration

Inhaltsverzeichnis

1 Problemstellung

2 Bewertung bei flacher Zinsstruktur
2.1 Z ahi imgs ströme
2.2 Bewertung von Zahlungsströmen
2.3 Duration als Elastizitätsmaß
2.4 Die Duration einer Anlage
2.5 Anwendung

3 Bewertung bei ausgeprägter Zinsstruktur
3.1 Verschiedene Zinsänderungsszenarien
3.2 Durationmaße bei ausgeprägter Zinsstruktur
3.3 Empirische Untersuchungen

4 Das Но-Lee Modell
4.1 Vorstellung des Modells
4.2 Eigenschaften des Ho-Lee Modells
4.3 Duration im Ho-Lee Modell

5 Abgrenzung

Abbildungsverzeichnis

1 Bondpreisschätzung mittels der Duration

2 laufzeitabhängiges Verhalten der Duration

3 Die Störterme h^(t) und h^(t)

1 Problemstellung

Die Bewertung festverzinsliche Wertpapiere scheint einfach zu sein, sind doch im voraus Höhe und Zeitpunkte der Zahlungen bekannt. Jedoch ist der Wert dieser Zinstitel, genauso wie der von Dividendentiteln, den Schwankungen des Marktes unterworfen, ist damit alles andere als fest. In Anbetracht der Umfangs, den Zins­titeln an Kapitalmärkten darstellen, (etwa | des Umsatz an deutschen Börsen wird mit verzinslichen Wertpapieren erzielt), ist eine genaue Untersuchung des Preisver- h al t ens unumgängl i ch.

Zum Beispiel sind in den USA Anfang der achtziger Jahre in einer Hochzinsphase viele Spar- und Kreditgenossenschaften (Savings and Loan Association) in finanzielle Nöte geraten. Ihre zu niedrigem Zins abgeschlossenen Hypothekendarlehen haben an Wert verloren, gleichzeitig stieg der Aufwand der Refinazierung, die überwiegend mit kurzfristigen Spareinlagen erfolgte.

Bierwag¹ stellt ausfürlich Bewertungsmethoden, Analysen und Handlungsstrate­gien vor, die sich mit dem Zinsänderungsrisiko befassen. Angelehnt an dieses Buch ist die vorliegende Seminararbeit entstanden.

2 Bewertung bei flacher Zinsstruktur

2.1 Zahlungsströme

Aus Zinsansprüchen resultierende Zahlungsstöme (Z.\.Z¿ Z.„) lassen sich grob wie folgt einteilen: Kuponanleihen (Bonds): Hier erfolgen periodische Zinszahlungen gleicher Höhe, des sogenannten Kupons mit der Kuponrate c. Bei Fälligkeit T wird die An­leihe durch Rückzahlung des Nennwertes N getilgt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man unterscheidet zwischen

1. Par Bonds (Preis P = 100)
2. Premium Bonds (P > 100)
3. Discount Bonds (P < 100)

Nullkuponanleihen (Zerobonds): Wie der Name schon sagt, erbringt die Null­kuponanleihe (NKA) keine Kuponzahlungen. Ihre Zinserträge resultieren dar­aus, daß sie mit einem Abschlag zum Nennwert verkauft werden. Die Differenz zur bei Fälligkeit T erfolgenden Rückzahlung stellen die thesaurierten Zinsen dar.

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Annuitäten: Eine Annuität zeichnet sich dadurch aus, daß über die gesamte Lauf­zeit ein gleichförmiger Geldfluß besteht = Z2 = ... = Zj). In den einzel­nen Zahlungen sind sowohl Zins- als auch Tilgungsanteile enthalten, die sich im zeitlichen Verlauf von einem hohen Zinsanteil zu wachsenden Tilgungsra­ten verschieben. So sind zum Beispiel Hypothekenkredite überwiegend An­nui t ät end ari eb en.

Die obigen Elemente lassen sich kombinieren, so kann man z.B. ein Anleihe aus mehreren Zerobonds nachbilden. Aufgrund der Wertadditivität ist es gleichgültig, ob man die Kupon- und Tilgungszahlungen einzeln in Form von Nullkuponanleihen kauft, oder den gesamten Zahlungsstrom in Form einer Anleihe.

2.2 Bewertung von Zahlungsströmen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieser Ausdruck läßt sich auch darstellen als

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Bei einer ebenen Zinskurve ist der Marktzinssatz i für alle Anlagezeiträume konstant und gleich der Rendite r. Dies erleichtert die Bewertung eines Zahlungsstromes sehr, denn sein Wert ( Preis ) setzt sich aus der Summe der mit dem Zins i diskontierten Zahlungen bis zur Fälligkeit zusammen. Eine Anleihe mit Nennwert iY, Laufzeit T und Kuponrate c hat damit folgenden Preis P (bzw. Wert V):

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Die Wirkung des Zinssatzes auf den Preis ist offensichtlich. Als Maß für die Zins­abhängigkeit des Anleihepreises bezüglich des Zinssatzes ergibt sich die Duration, die als auch als gewichtetes Zeitmaß zu verstehen ist.

2.3 Duration als Elastizitätsmaß

Macaulay prägte 1938 als erster den Begriff „Duration“. Er definiert die Duration eines Zahlungsstroms folgendermaßen (vgl. Bierwag ¹, S. 57ff):

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Damit lassen sich Wertänderungen bei kleinen Zinsbewegungen abschätzen mit:

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Unter der Annahme, D sei konstant, erhält man eine bessere Näherung durch Inte­gration der Differentialgleichung (8):

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Abbildung 1: Bondpreisschätzimg mittels der Duration

Der noch au'ft reten de Fehler beruht darauf, daß entgegen der Annahme D vom Marktzins abhängig ist und damit nicht als Konstante vor das Integral gezogen werden darf.

2.4 Die Duration einer Anlage

Bierwag (¹. S.74-78) zeigt, daß die Duration einer Anleihe sich durch die Formel

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berechnen läßt.

Für einen Parbond (c=i) vereinfacht sich die Kalkulation zu

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Die Duration Dp eines Anleiheportfolios ist eine Linearkombination aus den Dura­tion Di der im Portfolio P vertretenen Werte /. Gewichtet werden sie mit ihrem Anteil am Gesamtwert Vp des Portfolios.

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Abbildung 2: laufzeitabhängiges Verhalten der Duration

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Die Entwicklung der Duration während der Laufzeit eines Bonds sieht bei un­verändertem Zins folgendermaßen aus (vgl. Abb.(2)):

- Bei Zerobonds entspricht die Duration der Restlaufzeit, da in Formel (4) das ganze Gewicht auf die Tilgungszahlung in T fällt.
- Die Duration einer Kuponanleihe nähert sich mit länger werdender Laufzeit der Duration einer ewigen Rente an.
- Die Duration der ewigen Rente (Annuität mit unendlicher Laufzeit) ist -M^. Dies ergibt sich für den Grenzwert lim7^co D nach Gleichung (13).
- Mit abnehmender Laufzeit fällt die Duration von Premium- und Parbonds. aber langsamer als die Restlaufzeit.

[...]

¹ Einige Discountbonds (mit extrem langer Laufzeit und im Vergleich zum Marktzins sehr niedrigem Kupon) zeigen ein unerwartetes Verhalten. Die Du­ration steigt mit Abnahme der Laufzeit an. um dann wie erwartet ebenfalls