Kreis- und Kugelpackungen

Inhaltsverzeichnis

1. Vorwort

2. Vorüberlegungen
2.1. Kreise und Kugeln
2.2. Gitter
2.2.1. Fundamentalparallelotope
2.2.2. Bravais-Gitter
2.3. Packungsdichte

3. Infinite Kreis- und Kugelpackungen
3.1. Infinite Kreispackungen
3.1.1. Quadratische und hexagonale Kreisgitterpackung
3.1.2. Dichteste infinte Kreispackung
3.2. Infinite Kugelpackungen
3.2.1. Ausgewählte infinite Kugelpackungen
3.2.1.1. Kubisch - primitive Kugelgitterpackung
3.2.1.2. Kubisch - raumzentrierte Kugelgitterpackung
3.2.1.3. Kubisch - flächenzentrierte Kugelgitterpackung
3.2.1.3.1. Tetragonal - raumzentrierte Kugelgitterpackung
3.2.1.3.2. Rhomboedrisch - primitive Kugelgitterpackung
3.2.1.4. Hexagonal - primitive Kugelgitterpackung
3.2.1.5. Hexagonal - dichte Kugelpackung
3.2.2. Dichteste infinte Kugelpackung
3.2.2.1. Dichteste Kugelgitterpackung
3.2.2.2. Kubisch - flächenzentriert vs. hexagonal - dicht
3.3. Zur Geschichte infiniter Kreis- und Kugelpackungen
3.4. Vorkommnisse und Anwendungen

4. Finite Kreis- und Kugelpackungen
4.1. Finite Kreispackungen
4.1.1. Ausgewählte finite Kreispackungen
4.1.1.1. Wurstpackung vs. hexagonale Pizzapackung
4.1.1.2. Vergleich hexagonaler Pizzapackungen
4.1.2. Dichteste finite Kreispackung
4.2. Finite Kugelpackungen
4.2.1. Ausgewählte finite Kugelpackungen
4.2.1.1. Wurstpackung vs. hexagonale Pizzapackung
4.2.1.2. Wurstpackung vs. Clusterpackung
4.2.2. Dichteste finite Kugelpackung
4.3. Zur Geschichte finiter Kreis- und Kugelpackungen

5. Ausblicke
5.1. Containerpackungen
5.2. Randparameter
5.3. -dimensionale Kugeln
5.3.1. Infinite -dimensionale Kugelpackungen
5.3.2. Finite -dimensionale Kugelpackungen

6. Zusammenfassung

7. Abbildungsverzeichnis

8. Tabellenverzeichnis

9. Literaturverzeichnis

1. Vorwort

Jedes Jahr zum Valentinstag stellt sich so mancher Mann die Frage, was er wohl seiner Liebsten schenken kann. Meist läuft es dabei auf süße Köstlichkeiten hinaus. Immer wieder gerne gesehen sind dabei u.a. Giotto, Rocher und Raffaello. Bei genauerer Betrachtung dieser Süßigkeiten fällt auf, dass die kugelförmigen Leckereien alle samt beinahe identisch, also im mathematischem Sinn kongruent sind, aber dennoch in drei völlig unterschiedlichen Packungen angeboten werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.1 Unterschiedliche Packungen (links [Abb15], Mitte [Abb16], rechts [Abb17])

Die Giotto-Packung ist eine Art stangenförmige Packung, in der die Giotto- Kugeln in einer Reihe angeordnet sind. Rocher-Kugeln sind dagegen nicht nur hintereinander, sondern auch nebeneinander gestapelt. Demgegenüber befinden sich die Raffaello-Kugeln ganz beliebig in einer größeren Packung.

Diese Packungen sind Beispiele endlicher (finiter) Kugelpackungen. Weitere sind Kanonenkugeln oder gestapelte Orangen beim Obsthändler.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.2 Kanonenkugeln (aus [Abb18]) und Orangen (aus [Abb19])

Die in der realen Welt auftretenden Kugelpackungen sind zwar ausschließlich endlich, doch in der Mathematik wird das Hauptaugenmerk auf undendliche (infinite) Kugelpackungen gelegt. Die oben genannten Orangenstapel stellen einen Ausschnitt einer solchen Kugelpackung dar.

Weiterhin sind beinahe unendliche Kugelpackungen bei Atomen und Molekülen zu beobachten, beispielsweise bei Wolfram (links), Gold (Mitte) oder Magnesium (rechts). Deshalb sind infinite Kugelpackungen gerade in der Festkörperphysik von großer Bedeutung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.3 Kugelpackungen bei Atomen und Molekülen (alle aus [Abb20])

Aber was unterscheidet die infiniten von den finiten Kugelpackungen?

Welche Packungstypen von kongruenten Kugeln sind noch möglich und was sind die Vorteile solcher Packungen?

Gibt es „schlechtere“ und „bessere“ Kugelanordnungen und wodurch können wir diese unterscheiden?

Sind die typischen Kanonenkugel- sowie Orangenstapel gut gewählt und mathematisch begründet oder nur zufällige Anordnungen?

Diese Arbeit versucht Antworten auf obige Fragen zu liefern und weitere wichtige Erkenntnisse zu dem Themengebiet Kreis- und Kugelpackungen zu bieten.

Im zweiten Abschnitt werden wichtige Vorüberlegungen thematisiert, die fundamental für die weiteren Kapitel sind. Hier werden wesentliche Erkenntnisse zu Kreisen, Kugeln, Gittern und Packungsdichten gewonnen, ohne die eine Bearbeitung der folgenden Themen nicht möglich wäre. Die Kapitel drei und vier beziehen sich auf unendliche (infinite) sowie auf endliche (finite) Kreis- und Kugelpackungen. Dies sind die beiden Hauptthemen dieser Arbeit, wobei der Schwerpunkt auf den infiniten Kugelpackungen liegt, da diese u.a. auch als Basiswissen für die finiten Kreis- und Kugelpackungen hilfreich sind.

Zu Beginn des dritten Kapitels werden zunächst theoretische Inhalte behandelt, bevor einzeln auf ausgewählte infinite Kreis- und Kugelpackungen eingegangen wird und diese speziell auf ihre Packungs- dichte untersucht werden. Die Geschichte der Kugelpackungen ist überwiegend die der infiniten. Sie beginnt Anfang des 17. Jahrhunderts durch Johannes Kepler, der im Jahr 1611 die Frage nach der dichtesten Kugelpackung im Raum stellte und eine Vermutung äußerte, die bis heute trotz mehrerer Versuche nicht beantwortet werden konnte. Diese Vermutung wird aus verschiedenen Gesichtspunkten beleuchtet sowie die Probleme eines endgültigen Beweises angesprochen. Schließlich werden ein geschichtlicher Exkurs sowie einige Vorkommnisse in der Physik und der Chemie sowie Anwendungen in der Codierungstheorie behandelt.

Auch das Kapitel vier beginnt mit theoretischen Inhalten, bevor die Packungsdichten einiger exemplarischer Kreis- und Kugelpackungen bei fester Kreis- bzw. Kugelanzahl verglichen werden. Es werden aber lediglich Vergleiche niedriger Stückzahlen unternommen, da bereits diese einen hohen Rechenaufwand erfordern.

Interessanten Themen, insbesondere die finiten Kugelpackungen betreffend, deren ausführliche Behandlung allerdings den Rahmen dieser Arbeit sprengen würden, ist das fünfte Kapitel gewidmet. Hier werden weitere Aspekte finiter Kugelpackungen behandelt und statt 2-dimensionaler Kreis- und 3-dimensionaler Kugelpackungen -dimensionale infinite sowie finite Kugelpackungen thematisiert.

Abschließend werden im sechsten Kapitel die wichtigsten gewonnen Erkenntnisse nochmals kurz zusammengefasst.

Als Orientierungshilfe für diese wissenschaftliche Hausarbeit diente die Hauptliteratur „Kugelpackungen - von Kepler bis heute“ von Max Leppmeier [Lep1].

Zum Verstehen dieser Arbeit ist die Beherrschung der fachwissen- schaftlichen Themengebiete Analytische Geometrie und Lineare Algebra 1 und 2 sowie Geometrie eine Voraussetzung. Als Literatur können dabei „Lineare Algebra“ von Albrecht Beutelspacher [Beu1] sowie „Elemente der Geometrie“ von Harald Scheid und Wolfgang Schwarz [Sch] empfohlen werden.

Der Einfachheit halber wird in der gesamten Arbeit auf die Vektorpfeile sowie auf die Formulierung Winkelmaß verzichtet und stattdessen die einfachere Bezeichnung Winkel verwendet. Statt beispielsweise „für das Winkelmaß des Winkels gilt: ͻ “ wird stets einfach „für den Winkel gilt: ͻ “ geschrieben.

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