Zeitstetige Zinsstrukturmodelle - LIBOR-Markt-Modell von Brace, Gatarek und Musiela

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1. Einleitung

2. Finanzwirtschaftliche Grundlagen
2.1 Der LIBOR
2.2 Spot Rates und Forward Rates
2.3 Caps und Caplets
2.4 Floors und Floorlets
2.5 Swaps und Swaptions
2.6 Das Geldmarktkonto

3. Finanzmathematische Grundlagen
3.1 Martingale, risikoneutrale und äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaße
3.2 Stochastische Prozesse und stochastische Differentialgleichungen
3.2.1 Der Markov-Prozess
3.2.2 Wiener Prozesse
3.2.3 Itô Prozesse und Itôs Lemma

4. Zeitstetige Zinsmodelle

5. Das BGM-Modell
5.1 Annahmen des Modells
5.1.1 Lognormalverteilung des Forward LIBOR
5.1.2 Arbitragefreiheit
5.2 Das Modell
5.3 Bewertung von Derivaten im BGM-Modell
5.3.1 Swaps
5.3.2 Caps
5.3.3 Floors
5.3.4 Swaptions
5.4 Kalibrierung des Modells

6. Kritik und Weiterentwicklungen des BGM-Modells

7. Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

Literaturverzeichnis

Anhang

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: LIBOR-Zinsstruktur vom 1. März 2007

Abbildung 2: Forward, Spot Rates und Diskontierungsfaktoren

Abbildung 3: Ausgleichszahlungen beim Cap

Abbildung 4: Zahlungsprofil eines Caplets

Abbildung 5: Zahlungsprofil eines Floorlets

Abbildung 6: Der Wiener Prozess

Abbildung 7: Zeitstetige Zinsstrukturmodelle

Abbildung 8: Normalverteilte Wahrscheinlichkeitsverteilung

Abbildung 9: Lognormale Wahrscheinlichkeitsverteilung

Abbildung 10: Der Forward LIBOR

Abbildung 11: Caplet-Preise in Abhängigkeit der Volatilität

Abbildung 12: Swaption-Werte in Abhängigkeit der Strike Rates und Volatilitäten

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Arbitragetabelle zur Herleitung der Forward Rates

Tabelle 2: Kassa-, Terminzinssätze und Zerobondpreise

Tabelle 3: Bewertung eines Caps

Tabelle 4: Bewertung von Swaptions

Tabelle A-1: LIBOR Zinssätze am 1. März 2007

Tabelle A-2: Caplet-Preise in Abhängigkeit der Volatilität

Tabelle A-3: Swaption-Werte mit variierenden Strike Rates und Volatilitäten

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Im Jahr 1997 wurde ein neues Modell zur Bewertung von Zinsderivaten von Brace, Gatarek und Musiela^[1] vorgestellt. Das nach seinen Autoren benannte BGM-Modell gehört zu der Modellklasse der Marktmodelle, die versuchen die direkt am Markt beobachtbaren Zinsen zu beschreiben. Das Ziel des LIBOR-Markt-Modells besteht darin, die Dynamik der Zinsstruktur durch eine geeignete mathematische Modellierung möglichst genau zu beschreiben und damit Zinsderivate zu bewerten. Hierzu wird den Kapitalmarktzinsen ein Wiener Prozess und eine lognormale Verteilung unterstellt, so dass sich zur Bewertung von Europäischen Optionen die Black-Formel, die Standardformel zum Pricing dieser Optionen, ergibt.

Gleichzeitig zu der Arbeit von Brace, Gatarek und Musiela entstanden noch weitere grundlegende Arbeiten über Marktmodelle von Miltersen, Sandmann und Sondermann (1997) und Jamshidian (1997), dessen Modell zur Herleitung von Terminswaps dient. Diese LIBOR-Marktmodelle modellieren die Pfade von LIBOR-Terminzinssätzen für zukünftige Anlagezeiträume. Heath, Jarrow und Morton (1992) entwickelten einen Modellrahmen für die arbitragefreie Bewertung von Zinsderivaten, der in den LIBOR-Marktmodellen aufgegriffen wird. Allerdings ist es nicht möglich im HJM-Modell lognormalverteilte Forward Rates zu verwenden, da die Funktion dieser Zinssätze explodieren würde. Diesen Fehler haben Brace, Gatarek und Musiela behoben.

In dieser Arbeit werden zunächst die zum Verständnis des BGM-Modells notwendigen finanzwirtschaftlichen Grundlagen erläutert, Forward Rates werden definiert, Derivate auf die Zinsstruktur und zugehörige Portefeuilles aus Derivaten eingeführt und mit Hilfe von Zahlungsprofilen charakterisiert. Danach werden die erforderlichen mathe-matischen und stochastischen Konzepte beschrieben. Es wird allerdings keine mathematische Ausarbeitung erfolgen, sondern vielmehr werden die Bedeutung und Aussagen der einzelnen Konzepte erklärt.

In Kapitel 4 erfolgt ein Überblick über zeitstetige Zinsstrukturmodelle und eine Einordnung des BGM-Modells. Zur Beschreibung dieses Modells werden in Kapitel 5 grundlegende Annahmen über die Zinskurve getroffen, d.h. über die zugrunde liegenden stochastischen Prozesse. Im Anschluss wird eine Formel zur Modellierung des Forward LIBOR nach Brace, Gatarek und Musiela hergeleitet und die zu Beginn eingeführten Derivate und zugehörige Portefeuilles bewertet. Am Ende von Kapitel 5 wird eine Möglichkeit der Kalibrierung des Modells mithilfe der hergeleiteten Black-Formel für Caps erläutert. Anschließend werden Kritikpunkte und Weiterentwicklungen des BGM-Modells aufgezeigt. Kapitel 7 fasst zusammen.

2. Finanzwirtschaftliche Grundlagen

2.1 Der LIBOR

“BBA LIBOR is the most widely used benchmark or reference rate for short term interest rates world-wide” (BBA 2007, WWW).

Der LIBOR (London Interbank Offered Rate) ist der seit Januar 1986 täglich um elf Uhr fixierte Durchschnittszinssatz, zu dem sich die in London ansässigen Geschäftsbanken gegenseitig Geld leihen. Er wird von der momentan 253 Mitglieder umfassenden British Bankers’ Association (BBA), einer Interessenvertretung der Banken Großbritanniens, für sehr kurze und monatliche, bis zu einjährigen Laufzeiten und verschiedene Währungen festgelegt und über Nachrichtendienste veröffentlicht. Er wird u.a. in den Währungen Britisches Pfund, US Dollar und Euro ermittelt. Allerdings besitzt der Euro LIBOR gegenüber dem EURIBOR als Referenzzinssatz nur wenig Bedeutung.

Für Britische Pfund wird als Day Count Convention ACT/365 verwendet, für alle anderen Währungen ACT/360. Diese Tagesberechnungskonventionen dienen der Ermittlung der Periodenlänge, d.h. sie geben Auskunft darüber, nach welcher Methode der Zeitraum zwischen zwei bekannten Daten ermittelt wird. Bei den Methoden ACT/365 bzw. ACT/360 wird im Zähler die tatsächliche Anzahl der Tage ermittelt und durch vereinbarte Zählweise der Tage innerhalb eines Jahres, 365 bzw. 360, geteilt.^[2]

Der LIBOR stellt als Angebotszinssatz (Offered Rate) die Briefseite für Interbanken-geschäfte dar, zu denen nur Geschäftsbanken mit guter Liquidität und Bonität zugelassen werden, um das Gegenparteirisiko möglichst gering zu halten.

Er dient vor allem zur Fixierung der Zinszahlungen bei variabel verzinslichen Anleihen und somit auch bei Swaps als Referenzzinssatz. Bei Floating Rate Notes (FRN) wird nach jeder Zinsperiode der Zinssatz für die kommende Periode neu bestimmt. Dies hat den Vorteil, dass diese Wertpapiere nur geringe Kursschwankungen gegenüber fest-verzinslichen Wertpapieren aufweisen. Orientiert sich dieser Zinssatz am LIBOR, so wird je nach Anpassungshäufigkeit der FRN der 3-Monats-, 6-Monats- oder 12-Monats-LIBOR als Referenzzinssatz verwendet und ein bei Geschäftsabschluss vereinbarter Aufschlag zur Ermittlung der Zinszahlungen der nächsten Periode hinzugezählt.

Abbildung 1 zeigt die in Monatsintervalle eingeteilte LIBOR-Zinsstrukturkurve vom 1. März 2007 mit normalem Verlauf. Der 3-Monats-LIBOR für Britische Pfund lag an diesem Tag bei 5,5325%. Dies ist der Zinssatz eines über drei Monate laufenden Interbankengeschäfts vom 1. März bis zum 1. Juni 2007. Somit ist der LIBOR der Zins für eine Kreditaufnahme über ein diskretes Zeitintervall.

Abbildung 1: LIBOR-Zinsstruktur vom 1. März 2007

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(nach Quelle: BBA 2007, WWW.)^[3]

2.2 Spot Rates und Forward Rates

Zur Beschreibung der verschiedenen Zinsarten wird zunächst ein Zerobond [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit der Laufzeit von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bis [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]eingeführt. Bei Fälligkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] hat dieser einen Wert von 1, zu allen Zeitpunkten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist sein Wert kleiner 1. Dieser Preis wird auch als Diskontierungsfaktor bezeichnet, da er den Wert in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] einer Geldeinheit in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]darstellt. Die zugehörige Diskontierungsfunktion besteht aus den Preisen der Zerobonds mit den Laufzeiten über alle Zeitpunkte[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Aus diesen Werten lässt sich, wie gleich gezeigt wird, die Zinskurve ableiten.

Zur Bestimmung der Zinsarten werden Terminzinsen (Forward Rates) verwendet, die zu einem Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für eine Anlage von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bis [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]vereinbart werden. Ihre Formulierung fällt allgemeiner aus als die der Kassazinsen (Spot Rates). Darüber hinaus stellen sie die zukünftigen Kassazinsen aus der Sicht in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] dar. Dies impliziert, wie gezeigt wird, dass sich Spot Rates mithilfe der Forward Rates durch Festlegung der Vorlaufzeit auf Null darstellen lassen. Für die folgenden Ausführungen wird Arbitragefreiheit angenommen, damit Forward und Spot Rates miteinander konsistent sind. Um die Forward Rates zum Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für den Zeitraum [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]herzuleiten, wird der Zahlungsstrom eines Zerobonds [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] dupliziert.

Tabelle 1: Arbitragetabelle zur Herleitung der Forward Rates

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Quelle: Eigene Darstellung.)

Aufgrund der angenommenen Arbitragefreiheit muss für den Zahlungsstrom [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gelten, da in der Zukunft keine Zahlungen anfallen, d.h. kein Free Lunch existiert.

Aufgelöst nach[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], dem Diskontierungsfaktor einer Geldeinheit im Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf den Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], oder dem Kehrwert des zukünftigen Kassazinssatzes [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]^[4] und aus heutiger Sicht den Kehrwert der Forward Rate [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]gewichtet mit dem Anlagehorizont bei diskreter Verzinsung. Es ergibt sich also

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Löst man nach der Forward Rate [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf, erhält man die Form der diskreten Terminzinsen von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Angenommen der Laufzeitbeginn sei nicht mehr in der Zukunft, sondern in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, ergeben sich die diskreten Spot Rates

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Spot Rates entsprechen also den Forward Rates, falls die Laufzeit der Forward Rares in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beginnt. Dieser diskrete Zins wurde bereits in Abschnitt 2.1 als LIBOR für diskrete Zinsperioden eingeführt. Es sei darauf hingewiesen, dass in der Literatur auch häufig vom Kassa-LIBOR gesprochen wird.^[5] Sind die Preise mehrerer Bonds mit unterschiedlichen Laufzeiten bekannt, so lässt sich die zugehörige Zinsstrukturkurve ermitteln (vgl. Abbildung 1). Vereinfacht lassen sich Kassazinsen wie folgt darstellen, da der Bond [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]definitionsgemäß einen Wert von 1 hat:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Analog lässt sich Gleichung (2.2) auch als Forward LIBOR [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]bezeichnen.

Abbildung 2 soll den Zusammenhang zwischen Forward Rates, Spot Rates und den zugehörigen Diskontierungsfaktoren verdeutlichen.

Abbildung 2: Forward, Spot Rates und Diskontierungsfaktoren

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Quelle: Eigene Darstellung.)

Geht man von einer stetigen Verzinsung aus, ist der Term [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]in Gleichung (2.1) durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu ersetzen. Hieraus erhält man die stetigen Forward Rates

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und die stetigen Spot Rates

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Intervalllängen zu normieren, lässt man diese gegen Null laufen und erhält die instantanen Forward Rates. Diese Zinsen gelten für eine Anlage für ein infinitesimales Zeitintervall. Man kann sich darunter die Forward Rate für Tagesgeld oder einen noch kürzeren Zeitraum vorstellen. Für die Forward Rate erhält man

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bzw. für die Spot Rate, in diesem Fall Short Rate genannt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Short Rates und instantane Forward Rates sind am Markt nicht beobachtbar, da nicht mit diesen Zinsraten gehandelt wird. Zerobonds werden jedoch tatsächlich am Markt gehandelt. Durch ihre Preise kann die Zinsentwicklung am Markt betrachtet werden. Der Zusammenhang zwischen instantanen Forward Rates und einem Zerobond lässt sich durch Auflösen von Gleichung (2.7) durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

darstellen.^[6]

2.3 Caps und Caplets

Ein Cap ist ein Derivat, dessen Underlying Zinssätze sind. Caps kommen in der Regel bei variabel verzinslichen Verbindlichkeiten zum Einsatz und stellen eine Versicherung gegen das Übersteigen des Zinses über eine bestimmte Höchstgrenze, die Cap Rate [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], dar. Für diese Versicherung muss der Käufer des Caps eine Prämie an den Verkäufer, bei dem es sich häufig um eine Bank handelt, zahlen. Diese Prämie kann dabei periodisch oder als einmalige Zahlung bei Vertragsabschluss gezahlt werden.^[7]

Ein Cap besteht aus einer Summe von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Caplets mit den Zahlungszeitpunkten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Diese Caplets sind Calloptionen auf den zugrunde liegenden Zins. Wenn nun der Referenzzinssatz am Zinsanpassungstermin oberhalb der vorher vereinbarten Cap Rate liegt, leistet der Verkäufer des Caps eine Ausgleichszahlung an den Käufer. Der Referenzzinssatz ist dabei häufig der 3- oder 6-Monats-LIBOR, die Cap-Periode oder Zinssicherungsperiode dauert dann 3 bzw. 6 Monate. In dieser Arbeit wird im Folgenden vom LIBOR als Referenzzinssatz ausgegangen.^[8] Die Zahlung des Verkäufers an den Käufer wird nun jedoch nicht am Zinsanpassungstermin [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] geleistet, sondern am Ende der Zinsperiode zum Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und entspricht dann der Differenz zwischen dem Referenzzinssatz und der Cap Rate, wobei die Länge der Cap-Periode berücksichtigt werden muss.^[9]

Vergleicht man zwei Caps mit unterschiedlicher Laufzeit, so hat der länger laufende Cap einen größeren Wert. Dies lässt sich damit erklären, dass durch die größere Anzahl an Referenzterminen eine größere Wahrscheinlichkeit besteht, dass der Referenz-zinssatz über der Cap Rate liegt und somit eine Zahlung vom Käufer an den Verkäufer fällig wird.^[10]

Abbildung 3: Ausgleichszahlungen beim Cap

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Quelle: Eigene Darstellung nach Trautmann (2006a), S. 11-2.)

Wie bereits erwähnt lässt sich ein Cap formal als Summe der Caplets darstellen, es gilt also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Definiert man für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, dann ist der Wert eines Caplets in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wert des Caplets entspricht also dem Wert einer Calloption auf den LIBOR mit dem Ausübungspreis K, auch der Cap Rate genannt. Abgezinst auf den Zeitpunkt t erhält man

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

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^[1] Diese Seminararbeit basiert auf dem Artikel Brace, A.; Gatarek, D.; Musiela, M. (1997): Market Model of interest rate dynamics, Mathematical Finance 2, S. 127-147.

^[2] Vgl. Eller, R. (Hrsg.); Detlef Heinzel, D.; Knobloch, P.; Lorenz, B. (2002): Modernes Risiko-management. Steuerung von Kassainstrumenten und Derivaten im Bankbetrieb, Wiesbaden, S. 22f.

^[3] Die zugehörigen Datengrundlage befindet sich in Tabelle A-1 im Anhang.

[4] entspricht dem Wert eines Geldmarktkontos im Zeitpunkt S für eine Anlage von 1 im Zeitpunkt T (s. Abschnitt 2.2.5).

^[5] Vgl. Branger, N.; Schlag, C. (2004): Zinsderivate, Modelle und Bewertung, Berlin Heidelberg, S. 150.

^[6] Schmidt, T. (2005): Zinsstrukturmodelle, Universität Leipzig, S. 7.

^[7] Vgl. Trautmann, S. (2006a ): Finanzderivate II: Zins- und Kreditderivate, Universität Mainz, S.11-2.

^[8] Vgl. Branger, Schlag (2004), S. 26.

^[9] Vgl. Trautmann (2006a), S.11-2.

^[10] Vgl. ebd., S.11-3.