Z-Werte, Schiefe und Exzess

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Die Schiefe
2.1. Maßzahlen, die auf der Lage der Mittelwerte beruhen
2.2. Maßzahlen, die auf Streuungsmaßen beruhen
2.3. Maßzahlen, die auf dem dritten Moment beruhen

3. Der Exzess

4. Z – Werte und Z – Transformation

5. Literaturliste

1. Einleitung

Das Thema dieser Hausarbeit ist das Schiefe- und Wölbungsmaß als Maß der deskriptiven Statistik und die Z – Werte sowie die Z – Transformation.

Da ich, um ehrlich zu sein, kein gutes mathematisch – logisches Verständnis habe, musste ich mir die Themen von Grund auf aneignen und bin dabei bei den Erläuterungen in meiner Arbeit zum Teil sehr ins Detail gegangen, damit ich selber einen besseren Zugang zu dem Thema finden konnte.

Als erstes stellte ich mir bei der Bearbeitung und Vorbereitung der Hausarbeit die Frage, was all´ dies praktisch mit meinem späteren Berufsfeld, den Erziehungswissenschaften, zu tun habe und kam zu folgendem Schluss:

Die Statistik nimmt in den Sozialwissenschaften eine wichtige Rolle ein, sie ist allerdings anders definiert als in den Naturwissenschaften. Im sozialwissenschaftlichen Bereich ist es häufig notwendig, z. B. soziologische Phänomene oder ähnliches zu analysieren und anhand statistischer Ergebnisse auszuwerten. Allerdings ist es in diesem Bereich oft schwierig, da eventuell unkontrollierte Situationen vorliegen oder bestimmte Situationen nicht experimentell nachgestellt werden können. Denn oftmals ist der Wissenschaftler vor ethische Fragen gestellt, die es zu lösen gilt. Zudem fließen in vielen Fällen psychologische Faktoren in die Ergebnisse mit ein, die vielleicht sogar maßgeblich sein könnten, jedoch nicht mit in die Statistik aufgenommen werden können, da sie schlicht nicht messbar sind.

All´ diese Schwierigkeiten eines Sozialwissenschaftlers, der mit Statistiken und „harten Fakten“ arbeitet, wurden mit bei den Recherchen umso bewusster.

Nun versuchte ich, die Rolle der Schiefe, des Exzesses und der Z – Werte in der Statistik auszumachen und stieß dabei auf ein Problem: Ich konnte der Literatur entnehmen, dass das Schiefe- und Wölbungsmaß in der Praxis sehr selten angewandt wird und dass die Z – Transformation ebenso wenig Beachtung in der Fachliteratur findet. Ich musste mich mit einigen wenigen Seiten in verschiedenen Büchern begnügen, wobei mir allerdings zwei von besonderer Hilfe waren: Zum einen Rolf Volmerigs „Die Schiefe als Maß der deskriptiven Statistik“ und zum anderen Peter Schulzes „Beschreibende Statistik“.

Als einleitende Erklärung kann man sagen, dass die Schiefe, ebenso wie der Exzess, dazu verwendet werden, die Abweichung einer Verteilung von einer Normalverteilung quantitativ zu beschreiben.

Die Z – Transformation dient dazu, eine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu überführen.

Schiefe und Exzess haben aber mit den Z – Werten nur peripher etwas zu tun, da man den Z – Wert nur bei normalverteilten Häufigkeitsverteilungen berechnen kann.

Um also Schiefe, Exzess und Z – Transformation verstehen zu können, braucht man zunächst eine Definition einer Normalverteilung, da all´ dies auf der Normalverteilung basiert bzw. auf der Abweichung von dieser.

Eine Normalverteilung als eine spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung kann wie folgt charakterisiert werden:

Eine stetige Zufallsvariable x heißt normalverteilt mit den Parametern μ Є R und σ > 0, kurz: x ~ N (μ,σ), wenn ihre Verteilung durch die Dichtefunktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit x Є R gegeben ist.

Eine besondere Normalverteilung ist die Standardnormalverteilung und alle Normalverteilungen sind in sie durch Transformation, wie ich später erklären werde, überführbar.

2. Die Schiefe

Häufig liegen, besonders im wirtschafts- und sozialwissenschaftlichen Bereich, asymmetrische Verteilungen einer Häufigkeit vor. Auch Verteilungen, deren Merkmalsausprägungen nur positiv sein können (wie z. B. Körpergröße oder Gewicht) weisen oft eine Asymmetrie auf.

Für Vergleiche ist es nun hilfreich, Aussagen über diese Schiefe oder Asymmetrie treffen zu können.

Die Schiefe definiert sich also folgendermaßen:

Sie ist ein Mangel an Symmetrie gegenüber dem zentralen Wert einer Verteilung.

Oder einfacher:

Asymmetrische Verteilungen sind schiefe Verteilungen.

Es ist aber zwischen rechtsschiefen (oder auch linksasymmetrischen, linkssteilen) und linksschiefen (oder auch rechtsasymmetrischen, rechtssteilen) Verteilungen zu unterscheiden:

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Linie 1= symmetrisch

Linie 2 = rechtsschief (positiv schief)

Linie 3 = linksschief (negativ schief)

Pal nannte solche Verteilungen, die ihren „Schwanz“ auf der rechten Seite haben, rechtsschief. Und solche, die ihren „Schwanz“ auf der linken Seite haben, nannte er dementsprechend linksschief.^[1]

Bahrenberg und Giese definieren dies so: Ist der Großteil einer Verteilung links vom Mittelwert, so handelt es sich um eine rechtsschiefe Verteilung (positive skewness). Ist der Großteil aber rechts vom Mittelwert, so handelt es sich um eine linksschiefe Verteilung (negative skewness).

Diese Definitionen finden bei eindeutig rechts- oder linksschiefen Verteilungen noch Anwendung, doch in einigen Fällen (z. B. wenn Verteilungen beinahe symmetrisch sind) stoßen sie an ihre Grenzen.

Ebenso ist es notwendig, den Grad der jeweiligen Schiefe zu ermitteln. Hierfür wurden bestimmte Formeln entwickelt.

Allerdings ist zu beachten, dass die folgenden Berechnungen lediglich für eingipfelige (unimodale) Verteilungen sinnvoll sind und die Daten auf metrischem Skalenniveau vorliegen müssen.

Es ist nützlich, anhand einer Maßzahl bzw. eines Parameters die Ausgeprägtheit der Schiefe einer Verteilung zu messen.

Die üblichen Parameter lassen sich in drei Gruppen unterteilen:

1. Maßzahlen, die auf der Lage der Mittelwerte beruhen
2. Maßzahlen, die auf der Verwendung von Streuungsmaßen beruhen
3. Maßzahlen, die das Moment dritter Ordnung zugrunde legt

Die Maßzahlen sind so definiert, dass

bei rechtsschiefen Verteilungen die Maßzahl positiv,

bei symmetrischen Verteilungen die Maßzahl null und

bei linksschiefen Verteilungen die Maßzahl negativ

wird.

Rechtsschiefe Häufigkeitsverteilungen weisen ein positives und linksschiefe ein negatives Vorzeichen auf.

Im Allgemeinen kann man sagen, dass die Verteilung umso schiefer wird, desto größer die positive oder negative Abweichung von Null ist.

2.1. Maßzahlen, die auf der Lage der Mittelwerte beruhen

Erste Anhaltspunkte über die Schiefe einer eingipfeligen Häufigkeitsverteilung finden sich bei der Betrachtung des arithmetischen Mittels x, des Zentralwertes (Medians) Z und des Modus M. Bei einer schiefen Verteilung befinden sich diese stets an unterschiedlichen Stellen.

Es gilt: _

1. bei einer symmetrischen Verteilung: x = Z = M
2. bei einer rechtsschiefen Verteilung: x >Z >M
3. bei einer linksschiefen Verteilung: x < Z < M.

Z liegt bei allen drei Verteilungstypen in der Mitte. Die Definition von Rechts- bzw. Linksschiefe basiert also auf dieser Lage der Mittelwerte:

x > Z = rechtsschief und x < Z = linksschief.

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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Allerdings sind diese Definitionen nur als etwaiger Hinweis auf die Schiefe zu deuten. Über die Stärke der Asymmetrie lässt sich hierbei keine Aussage machen.

Das Schiefemaß nach Karl Pearson beruht aber ebenso auf dem Verhältnis zwischen arithmetischem Mittel und Modus. Zuallererst definiert er Schiefe wie folgt:

x – M > 0 = rechtsschiefe (positiv schiefe) Verteilung

x – M < 0 = linksschiefe (negativ schiefe) Verteilung

x – M = 0 = symmetrische Verteilung.

Damit man nun unterschiedliche Verteilungen miteinander vergleichen kann, ist eine Standardisierung notwendig. Dies tut man, indem die Differenz der Mittelwerte auf die Standardabweichung S bezogen wird. Daraus ergibt sich eine Maßzahl, die man den ersten Pearsonschen Schiefekoeffizienten nennt. Er lässt sich nach folgender Formel berechnen:

S 1 = x – M

s

Hierbei gilt:

S 1 > 0 = rechtsschief

S 1< 0 = linksschief

S 1 = 0 = symmetrisch.

Das heißt, dass hier kein Wertebereich anzugeben ist, was von Nachteil ist. Es lässt sich lediglich sagen, dass bei einem positiven Schiefemaß eine rechtsschiefe, bei einem negativen Schiefemaß eine linksschiefe und bei S 1 = 0 eine symmetrische Häufigkeitsverteilung vorliegt.

Der zweite Pearsonsche Schiefemaßkoeffizient, auch Schiefemaß nach Yule – Pearson genannt, ist speziell für mäßig schiefe Verteilungen geeignet und für extrem schiefe Verteilungen nicht anwendbar. Er wird berechnet, wenn die Berechnung des Modalwertes M Schwierigkeiten bereitet.

Für diese Berechnung gilt, dass sich Modus M und Median Z auf das arithmetische Mittel hin bewegen und dass der Median eine Lage einnimmt, die ca. ⅔ der Strecke zwischen Modus und arithmetischem Mittel entspricht.

Denn Pearson fand bei empirischen Untersuchungen heraus, dass bei mäßig _ schiefen Verteilungen der Zentralwert etwa bei ⅔ der Entfernung von M zu x liegt, das heißt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiel:

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[...]

^[1] Pal, S.K., 1982, S. 11