Bewertung und Absicherung von Derivaten in illiquiden Finanzmärkten

UNIVERSITÄT LEIPZIG
Fakultät für Mathematik und Informatik
(Mathematisches Institut)

Bewertung und Absicherung von Derivaten
in illiquiden Finanzmärkten

Diplomarbeit

vorgelegt von

Löschcke, Sascha

Studiengang Wirtschaftsmathematik

Leipzig, Februar 2005 

Zusammenfassung

Klassische finanzmathematische Theorien und Modelle, die sich mit der Bewertung und Absicherung von Derivaten beschäftigen, gehen von der Annahme friktionsloser Märkte (keine Transaktionskosten, keine Handelsrestriktionen) und insbesondere vollständig liquider Märkte aus, in denen die Wertpapierpreise vom Handelsvolumen unabhängig sind und jeder Händler als Preis-Nehmer agiert, was eine gute Approximation für hochliquide Wertpapiere darstellt. Jedoch sind im Falle Großer Händler, deren Handelstransaktionen einen erheblichen Anteil der verfügbaren Wertpapiere umfassen, die Preise durchaus von der Ordergröße abhängig und die angenommene Marktliquidität verschwindet. Somit ist die Notwendigkeit einer Theorie zur Bewertung und Absicherung von Derivaten in illiquiden Finanzmärkten gegeben. Dies führt u.a. auf den zentralen Begriff des Liquiditätsrisikos, als das zusätzliche Risiko, was auf den Zeitpunkt und den Umfang einer Handelstransaktion zurückzuführen ist.

In der vorliegenden Arbeit wird ein derartiger Ansatz ausführlich vorgestellt und genauer untersucht. Dieses Modell von Çetin, Jarrow und Protter bildet, unter Beibehaltung der Preis-Nehmer Bedingung, mit Hilfe einer stochastischen Angebotskurve als Funktion der Ordergröße den Einfluss verschiedener Handelsvolumina auf den Preis ab und bindet auf diese Weise das Liquiditätsrisiko in die Arbitrage Pricing Theorie ein. Dabei werden die beiden Fundamentalen Theoreme der Wertpapierbewertung untersucht. Dies führt zu einer neuen Definition einer selbstfinanzierenden Handelsstrategie, einer Erweiterung des Begriffs der Marktvollständigkeit und zusätzlichen Restriktionen für Hedgingstrategien. Unter anderem wird gezeigt, dass für (in diesem Kontext) annähernd vollständige Märkte die Preise für Derivate identisch sind mit deren arbitragefreien Preisen der klassischen Theorie.

Diese theoretischen Erkenntnisse werden dann in einer geeigneten Erweiterung des wohlbekannten Black-Scholes-Modells auf die Bewertung und Absicherung eines Europäischen Calls angewendet und im Rahmen einer Simulationsstudie ausführlich illustriert bzw. auf ihre praktische Anwendbarkeit hin getestet. Letztlich werden auch kurz ähnliche und andere Modelle für die Bewertung und Absicherung von Derivaten in illiquiden Märkten zur Sprache kommen.

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 1

2 Mathematische Grundlagen 4
2.1 Stochastische Prozesse ...  4
2.2 Stoppzeiten und Martingale  ...   7
2.3 Die Brownsche Bewegung  ...   8
2.4 LokaleMartingale ...   9
2.5 Semimartingale ...  10
2.5.1 Semimartingale und spezielle Semimartingale  ...  10
2.5.2 Quadratische Variation eines Semimartingals ...  11
2.5.3 Stetiger Teil und reiner Sprunganteil ...  12
2.6 Stochastische Integration bezüglich eines Semimartingals  ...   14
2.6.1 Das stochastische Integral für Prozesse aus L  ...  14
2.6.2 Das stochastische Integral für previsible Prozesse ...   16
2.6.3 Einige Eigenschaften des stochastischen Integrals  ...   18

3 Liquiditätsrisiko und Arbitrage Pricing Theorie  ...  19
3.1 Einleitung ...   19
3.2 DasModell ...   20
3.2.1 Die Angebotskurve ...   20
3.2.2 Handelsstrategien  ...   22
3.2.3 Liquiditätskosten selbstfinanzierender Handelsstrategien  ...   25
3.3 Erstes Fundamentales Theorem ...   27
3.3.1 Äquivalentes, Lokales Martingalmaß und Arbitragefreiheit  ...  27
3.3.2 Free Lunch mit verschwindendem Risiko  ...   28
3.3.3 Das Theorem  ...   29
3.3.4 Der Beweis  ...   30
3.3.4.1 Schritt 1 - Das fiktive Marktmodell  ...  30
3.3.4.2 Schritt 2 - Das Marktmodell mit Liquiditätsrisiko  ...  31
3.4 Zweites Fundamentales Theorem ...  34
3.4.1 Contingent Claims und Marktvollständigkeit  ...   34
3.4.2 Annähernde Marktvollständigkeit  ...   37
3.4.3 Replikation und Bewertung von Contingent Claims  ...  39
3.5 Nicht-Stetige Angebotskurven  ...   43
3.6 Abschluss  ...   44

4 Das Black-Scholes-Modell mit Liquiditätsrisiko  ...  45
4.1 Das Erweiterte Black-Scholes-Modell  ...  45
4.2 Replikation und Bewertung eines Europäischen Calls  ...   47
4.2.1 Bewertung mit Hilfe der klassischen Theorie  ...   47
4.2.2 Der klassische Black-Scholes-Hedge bei Liquiditätsrisiko  ...   48
4.2.3 Eine Approximierende Replikationsstrategie ...  51
4.2.4 Fazit für die Praxis ...   52
4.3 Illustrierende Simulationen mit Mathematica ... 54
4.3.1 Vorüberlegungen zur praktischen Umsetzung  ...  54
4.3.2 Implementierung des Programms ...  60
4.3.3 Auswertung und Interpretation der Simulationsergebnisse  ... 62
4.3.3.1 Wahl der Parameter ... 62
4.3.3.2 Der Glättungseffekt ... 63
4.3.3.3 Approximationsgüte und Liquiditätskosten ...  66
4.4 Schlussfolgerungen für die praktische Anwendung ...  76

5 Zusammenfassung und Ausblick ...  78

Literaturverzeichnis  ... 84

Anlagenverzeichnis  ... 86
A Beweise und Hilfsmittel ...  87
A.1 Konstruktion der Selbstfinanzierungsbedingung  ... 87
A.2 Das Numéraire-Unabhängigkeits-Theorem  ...  92
A.3 Approximierende Stochastische Integrale mit stetigen Integranden von endlicher Variation  ... 94

B Kommentierter Quellcode des Simulationsprogramms  ... 99

Abkürzungsverzeichnis  ... 104
Symbolverzeichnis ...  105
Begriffsverzeichnis  ... 107

Abbildungsverzeichnis
4.1 Grenzwert des klassischen Black-Scholes-Hedges  ... 63
4.2 Delta Hedge  ... 64
4.3 Delta Hedge  ... 64 
4.4 Geglätteter Hedge  ... 64
4.5 Geglätteter Hedge  ... 64
4.6 Geglätteter Hedge  ... 65
4.7 Geglätteter Hedge  ... 65
4.8 Geglätteter Hedge  ... 65 
4.9 Geglätteter Hedge  ... 65
4.10 Fehlerverteilung des Geglätteten Hedges im Modell ohne Liquiditätskosten.  ... 67
4.11 Fehlerverteilung des Geglätteten Hedges für Portfolio A. ... 68
4.12 Entwicklung der durchschnittlichen Liquiditätskosten des Delta-Hedges für Portfolio A in Abhängigkeit von  ... 71
4.13 Entwicklung der durchschnittlichen Liquiditätskosten des Delta-Hedges für Portfolio B in Abhängigkeit von  ...  71
4.14 Entwicklung der durchschnittlichen Liquiditätskosten des Geglätteten Hedges für Portfolio A in Abhängigkeit von ...  71
4.15 Entwicklung der durchschnittlichen Liquiditätskosten des Geglätteten Hedges für Portfolio B in Abhängigkeit von  ... 71
4.16 Entwicklung der durchschnittlichen Liquiditätskosten des Geglätteten Hedges für Portfolio A in Abhängigkeit von  ... 72
4.17 Entwicklung der durchschnittlichen Liquiditätskosten des Geglätteten Hedges für Portfolio B in Abhängigkeit von ...  72
4.18 Fehlerverteilung des Verbesserten Geglätteten Hedges für Portfolio A ... 75

Tabellenverzeichnis

[...]

Kapitel 1

Einführung

Die nationalen und internationalen Finanzmärkte spielen heutzutage im zunehmend globalisierten Wirtschafts- und Warenverkehr eine sehr bedeutende Rolle. Ohne sie wäre ein Wirtschaftsgefüge, wie es in der heutigen Zeit vorherrscht, undenkbar. Vielmehr bestehen enge Verknüpfungen sowie Wechselwirkungen zwischen Wirtschaftsbereichen aller Art und Finanzmärkten. Dies zeigen nicht zuletzt die enormen Börsenumsätze und die mitunter erheblichen Auswirkungen von Turbulenzen an Finanzmärkten auf Unternehmen verschiedenster Branchen. Daher ist das Verständnis und die Modellierung der Wirkungsweisen, Mechanismen und Eigenheiten dieser Märkte von großem Interesse, um die mit dem Umgang von Finanzinstrumenten einhergehenden Effekte und Risiken besser kalkulieren zu können. Neben den allgemeinen volks- und betriebswirtschaftlichen Zusammenhängen liefert dazu vor allem die höhere Finanzmathematik hilfreiche Ansätze und praktisch anwendbare Methoden.

Klassische finanzmathematische Theorien und Modelle, die sich mit diesbezüglichen Fragestellungen wie z.B. der Bewertung und Absicherung von derivativen Finanzinstrumenten beschäftigen, gehen von der Annahme friktionsloser Märkte aus. Das bedeutet, es wird ein Finanzmarkt unterstellt, in welchem keinerlei Transaktionskosten anfallen und keine Restriktionen an den Handel, wie beispielsweise Einschränkungen für Leerverkäufe (short sales) o.Ä. existieren. Insbesondere wird ein unendlich liquider Markt vorausgesetzt, d.h., jeder Händler kann unbegrenzte Mengen eines Wertpapiers kaufen und verkaufen, ohne den Preis des Wertpapiers zu beeinflussen bzw. zu verändern und agiert somit bei all seinen Transaktionen als Preis-Nehmer.

Diese vereinfachenden Hypothesen können die tatsächlichen Gegebenheiten eines realen Finanzmarktes natürlich lediglich approximativ abbilden. So lässt sich die Annahme der Marktliquidität nur solange rechtfertigen, wie Kleine Händler betrachtet werden, deren relativ geringe Handelsvolumina durch eine hohe Liquidität der Wertpapiere ohne weiteres gedeckt sind. Sobald jedoch Große Händler im Markt agieren, deren Handelstransaktionen einen erheblichen Anteil der verfügbaren Wertpapiere umfassen, so wird der zugehörige Preis von der entsprechenden Ordergröße abhängen bzw. beeinflusst, und die postulierte Marktliquidität verschwindet. In diesem Falle würde die praktische Anwendung der klassischen Theorie zum Zwecke der Absicherung und des Risikomanagements zu einem erhöhten Modellrisiko führen, so dass neue Theorien zur Bewertung und Absicherung von Derivaten in illiquiden Finanzmärkten erforderlich sind. Das Entwickeln und Verfeinern derartiger Ansätze und Modelle ist ein aktuelles finanzmathematisches Forschungsgebiet und soll Gegenstand dieser Diplomarbeit sein. 

Integriert man anfallende Transaktionskosten in die klassische Arbitrage Pricing Theorie, so lässt sich im Allgemeinen die Standardtheorie anwenden, aber anstelle eines einzigen arbitragefreien Preises für ein Derivat existiert dann ein Intervall von arbitragefreien Preisen. Dementsprechend werden die zugehörigen Hedgingstrategien geeignet modifiziert, aber die grundlegende Intuition bleibt unverändert. Im Gegensatz dazu kann sich bei Lockerung bzw. Aufhebung der Hypothese eines unendlich liquiden Marktes, in welcher Form auch immer, die klassische Theorie komplett verändern. So können beispielsweise Auswirkungen auf die Vollständigkeit des Marktes auftreten und Handelsstrategien (eines Großen Händlers) einen nachhaltigen Einfluss auf die Wertpapierpreise haben. Damit könnten Marktmanipulationen eine Rolle spielen und die Bewertung von Derivaten wäre vom Händler bzw. seiner Handelsstrategie und der Struktur des Marktes abhängig. Ganz allgemein führt die Lockerung der Friktionslosigkeit, insbesondere die Abkehr von der Annahme eines unendlich liquiden Marktes, auf die Einführung des Begriffs Liquiditätsrisiko. Vereinfacht gesagt, ist Liquiditätsrisiko das zusätzliche Risiko, was auf den Zeitpunkt und den Umfang einer Handelstransaktion zurückzuführen ist. Das Ziel muss also sein, dieses zusätzliche Risiko mit Hilfe einer einfachen, aber robusten Methode geeignet in die Arbitrage Pricing Theorie einzubinden. In ersten Ansätzen wurde dies in Form eines angemessenen Ertrags getan (siehe [21] und [22]). Angemessene Erträge haben im Zusammenhang mit Warenbewertungen eine lange Geschichte. Sie bieten die Möglichkeit, das bestehende Liquiditätsrisiko durch entsprechende Erträge zu kompensieren. Dabei behalten diese Ansätze die Preis-Nehmer Bedingung bei, so dass die klassische Arbitrage Pricing Theorie weiterhin angewendet werden kann. Jedoch lässt dieser Zugang des angemessenen Ertrags für die Einbindung des Liquiditätsrisikos einen wichtigen Punkt außer acht. Er behandelt nicht explizit die Auswirkung verschiedener Handelsvolumina auf den Preis. Folglich gibt es in dieser Modellstruktur keinen Begriff des Angebot/Nachfrage-Ungleichgewichts für die gehandelten Wertpapiere. Dies stellt eine signifikante Auslassung dar, denn in allen Märkten lassen sich derartige Unelastizitäten des Preises (Mengeneinflüsse) und Angebot/Nachfrage-Ungleichgewichte beobachten.¹

Daher soll in dieser Arbeit ein Modell von Çetin, Jarrow und Protter für die Einbeziehung des Liquiditätsrisikos in die Arbitrage Pricing Theorie ausführlich vorgestellt und genauer untersucht werden, welches mit Hilfe einer stochastischen Angebotskurve als Funktion der Ordergröße den Einfluss verschiedener Handelsvolumina auf den Preis abbildet und somit mit Unelastizitäten des Preises bzw. Angebot/Nachfrage-Ungleichgewichten vereinbar ist. Im Unterschied zu weiteren Modellen dieser Art wird auch dieser Ansatz die Preis-Nehmer Bedingung aufrechterhalten und kann somit unmittelbar auf die klassische Arbitrage Pricing Theorie aufsetzen. Dabei führt dieses Modell zu einer neuen Definition einer selbstfinanzierenden Handelsstrategie, einer Erweiterung des Begriffs der Marktvollständigkeit, zusätzlichen Restriktionen für Hedgingstrategien und einigen interessanten mathematischen Ergebnissen.

Der Gesamtüberblick über die Inhalte dieser Arbeit ist folgendermaßen: Nach dieser Einführung werden zunächst in Kapitel 2 kompakt (ohne Beweise) und konsistent die grundlegenden Symboliken, Begriffe, Ergebnisse und Hilfsmittel aus der stochastischen Analysis zusammengestellt, welche in den folgenden Kapiteln benötigt und systematisch angewendet werden. 

Dabei ist dieses Kapitel weniger als “flüssig zu lesende, detaillierte Abhandlung” zu betrachten, sondern es soll vielmehr einer klaren Begriffsbildung sowie der Einführung einer einheitlichen Symbolik dienen und die Möglichkeit bieten, Unbekanntes nachzuschlagen. Vor allem erfahrene Leser, die mit den Inhalten der stochastischen Analysis und Martingaltheorie gut vertraut sind, können dieses Kapitel durchaus zunächst überspringen und wenn nötig darauf zurückgreifen. In Kapitel 3 wird in ausführlicher Weise das oben erwähnte Modell von Çetin, Jarrow und Protter für die Berücksichtigung von Liquiditätsrisiko bei der Bewertung und Absicherung von Derivaten vorgestellt. Die Grundlage dafür bildet ihr Artikel Liquidity Risk and Arbitrage Pricing Theory [4]. Die theoretischen Ergebnisse dieses Ansatzes werden dann in Kapitel 4 auf das wohlbekannte Beispiel des Black-Scholes-Modells angewendet, welches geeignet erweitert wird, um Liquiditätskosten abzubilden. Dabei wird zunächst mit Hilfe der Erkenntnisse aus Kapitel 3 eine Europäische Calloption hinsichtlich Bewertung und Absicherung untersucht, und danach werden die so gewonnenen, theoretischen Ergebnisse im Rahmen einer Simulationsstudie ausführlich illustriert bzw. hinsichtlich ihrer Umsetzbarkeit in der Praxis untersucht. Das Kapitel 5 beschließt die Arbeit mit einer Zusammenfassung der Ergebnisse und einem Ausblick, in welchem kurz die Eigenheiten des hier ausführlich vorgestellten Modells erörtert werden und auch auf ähnliche und andere Modelle für die Bewertung und Absicherung von Derivaten in illiquiden Finanzmärkten eingegangen wird.

[....]

1 Die Aussagen dieses Absatzes sind eng angelehnt an die Ausführungen in [4], Abschnitt 1.