Verfahren zur Erklärung und zur Schätzung von Zinsstrukturen

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung
1.1 Relevanz der Thematik
1.2 Aufbau der Arbeit

2. Theoretische Ansätze zur Erklärung der Zinsstruktur
2.1 Grundlagen der Zinsstrukturtheorie
2.1.1 Definition und Eigenschaften der Zinsstruktur
2.1.2 Zinssätze und Risiken der Anlage
2.2 Die traditionelle Erwartungstheorie
2.3 Neuere erwartungstheoretische Modelle
2.3.1 Die modifizierte Erwartungstheorie vonLutz
2.3.2 Das Normalintervallmodell vonMalkiel
2.4 Die Liquiditätsprämientheorie
2.5 Die allgemeine Präferenztheorie
2.6 Die Marktsegmentationshypothese
2.7 Die Preferred Habitat Theory
2.8 Zeitstetige Gleichgewichtsmodelle
2.8.1 Das Modell vonVasicek
2.8.2 DasCox/Ingersoll/Ross-Modell
2.9 Bewertung der vorgestellten Ansätze

3. Verfahren zur Schätzung von Zinsstrukturen
3.1 Einführung
3.2 Das Verfahren vonCarletonundCooper
3.3 Approximation der Zinsstruktur durch ein Polynom
3.3.1 Das Verfahren vonChambers, CarletonundWaldman
3.3.2 Das Verfahren vonSchaefer
3.4 Schätzung der Zinsstruktur durch Splines
3.4.1 Approximation durch quadratische Splines
3.4.2 Approximation mittels kubischer oder polynomialer Splines
3.4.3 Schätzung der Zinsstruktur durch exponentielle Splines
3.4.4 Anwendung von B-Splines bei der Zinsstrukturschätzung
3.4.5 Approximation der Zinsstruktur durch glättende Splines
3.5 Zinsstrukturschätzungen mittels parametrischer Verfahren
3.5.1 Das Verfahren vonEcholsundElliot
3.5.2 Das Verfahren vonNelsonundSiegel
3.5.3 DasSvensson-Verfahren
3.6 Beurteilung der Schätzverfahren

4. Untersuchung europäischer Zinsstrukturen
4.1 Schätzmethoden der Zentralbanken
4.2 Annahmen über europäische Zinsstrukturen
4.3 Datenbasis und -bearbeitung
4.4 Interpretation und Analyse der Ergebnisse
4.5 Kritische Würdigung

5. Fazit

Anhang A – Schätzparameter europäischer Zinsstrukturen

Anhang B – Kassazinssatzstrukturkurven

Anhang C – Terminzinssatzstrukturkurven

Anhang D – Berechnung der Standardabweichungen

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Grundtypen der Verläufe von Zinsstrukturkurven

Abb. 2: Zinsstruktur mit und ohne Liquiditätsprämie bei Erwartung gleicher Zinssätze

Abb. 3: Zinsstrukturkurven der Kassazinssätze zum 31.03.2001

Abb. 4: Zinsstrukturkurven der Kassazinssätze zum 30.06.2001

Abb. 5: Zinsstrukturkurven der Kassazinssätze zum 30.09.2001

Abb. 6: Zinsstrukturkurven der Kassazinssätze zum 31.12.2001

Abb. 7: Zinsstrukturkurven der Kassazinssätze zum 31.03.2002

Abb. 8: Zinsstrukturkurven der Kassazinssätze zum 30.06.2002

Abb. 9: Zinsstrukturkurven der Kassazinssätze zum 30.09.2002

Abb. 10: Zinsstrukturkurven der Kassazinssätze zum 31.12.2002

Abb. 11: Zinsstrukturkurven der Terminzinssätze zum 31.03.2001

Abb. 12: Zinsstrukturkurven der Terminzinssätze zum 30.06.2001

Abb. 13: Zinsstrukturkurven der Terminzinssätze zum 30.09.2001

Abb. 14: Zinsstrukturkurven der Terminzinssätze zum 31.12.2001

Abb. 15: Zinsstrukturkurven der Terminzinssätze zum 31.03.2002

Abb. 16: Zinsstrukturkurven der Terminzinssätze zum 30.06.2002

Abb. 17: Zinsstrukturkurven der Terminzinssätze zum 30.09.2002

Abb. 18: Zinsstrukturkurven der Terminzinssätze zum 31.12.2002

Tabellenverzeichnis

Tab. 1: Übersicht über die von Zentralbanken angewandten Zinsstrukturschätzverfahren

Tab. 2: Svensson - bzw. Nelson/Siegel- Schätzparameter europäischer Zinsstrukturen

Tab. 3: Arbeitstabelle zur Berechnung der Standardabweichung der EWWU-Länder

Tab. 4: Arbeitstabelle zur Berechnung der Standardabweichung aller Länder

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

1.1 Relevanz der Thematik

In volkswirtschaftlichen Modellen sowie in betriebswirtschaftlichen Theorien, so z. B. in der Investitionstheorie und im Bondmanagement, wird zur Modellbeschreibung bzw. als Basis für Berechnungen oftmals ein einziger „Marktzinssatz“ zu Grunde gelegt. Die Unterstellung eines solchen Zinssatzes widerspricht jedoch empirischen Beobachtungen, nach denen sich auf den Geld-, Kapital- und Kreditmärkten verschiedene Zinssätze für unterschiedliche Anlagezeiträume, Bonitäten der Emittenten und andere Merkmale feststellen lassen.

Insbesondere der Zusammenhang zwischen der Verzinsung von festverzinslichen Wertpapieren und deren Laufzeiten ist in der wirtschaftswissenschaftlichen Forschung von steigendem Interesse. Kenntnisse über diesen Zusammenhang, als Fristigkeitsstruktur der Zinssätze oder auch Zinsstruktur bezeichnet, bieten eine Vielzahl von Anwendungsmöglichkeiten in der Praxis.¹

Ein Einsatzgebiet stellt die Bewertung von zinsabhängigen Finanztiteln, u. a. von Kuponanleihen, dar. In einfachen Barwertberechnungen wird zur Ermittlung des arbitragefreien Preises eines Bonds eine nicht realistische flache Zinsstrukturkurve unterstellt. Bei Kenntnis der Zinsstruktur kann der Wert von Anleihen mittels einer modifizierten Barwertformel unter Verwendung periodenspezifischer Zinssätze wesentlich exakter bestimmt werden.²

Im Bereich des Bondmanagements eröffnet sich ein weiteres Anwendungsgebiet hinsichtlich verbesserter Immunisierungsstrategien von Portfolios festverzinslicher Wertpapiere gegen Zinsänderungsrisiken. Während das gewöhnliche Konzept der Duration ebenfalls eine flache Zinsstrukturkurve voraussetzt, sind auf komplexeren Annahmen beruhende Durationsmodelle in der Lage, die zeitliche Entwicklung nichtflacher Zinsstrukturen zu berücksichtigen. Es lassen sich daher genauere Aussagen bezüglich des Zinsänderungsrisikos von Anleihen treffen und Strategien zur verbesserten Immunisierung von Portfolios erarbeiten.³

Geschäftsbanken haben in ihrer Funktion als Finanzintermediär u. a. die Aufgabe der Fristentransformation zu erfüllen. Durch Fristeninkongruenzen zwischen Aktiv- und Passivgeschäft entstehen Zinsänderungsrisiken, die eine Prognose der zukünftigen Zinsentwicklung notwendig machen. Diesem Zweck können Zinsstrukturschätzungen dienen. Sie ermöglichen Banken weiterhin, sich mittels dieser Informationen entdeckte Ineffizienzen auf den Kapitalmärkten zur Erzielung von Überschussrenditen nutzbar zu machen.⁴

Auch aus geldpolitischer Sicht sind Zinsstrukturen von hohem Interesse. Aus ihnen können Informationen über Zeitpräferenzen von Anlegern am Kapitalmarkt und deren Erwartungen bezüglich der zukünftigen Zinsentwicklung gewonnen werden. Außerdem gelten Zinsstrukturen als Indikator für die am Markt dominierenden Inflationserwartungen. Von Zentralbanken können Zinsstrukturen deshalb als zusätzliche Informationen für eigene Zins- und Inflationsprognosen verwendet werden.⁵ Auch sind Rückschlüsse über die von den Marktteilnehmern erwartete zukünftige Zinspolitik möglich. Weiterhin lassen die durch die Zinsstruktur offenbarten erwarteten zukünftigen Zinssätze Interpretationen über das künftige Wirtschaftswachstum zu, da die Beteiligten von Terminkontrakten auch Vorstellungen über zukünftige gesamtwirtschaftliche Grunddaten, so z. B. die konjunkturelle Entwicklung, berücksichtigen. Es konnte in verschiedenen Untersuchungen gezeigt werden, dass eine steigende Zinsstrukturkurve in der Regel einem Wirtschaftswachstum vorausgeht, während Konjunktureinbrüche durch eine flache oder inverse Zinsstrukturkurve angekündigt werden.⁶

Zinsstrukturen sind am Markt nicht direkt beobachtbar. Es lassen sich zwar für einige Marktsegmente mit hoher Liquidität für bestimmte Laufzeiten Umlaufrenditen feststellen, jedoch ist es ebenfalls von Interesse, Zinssätze für nicht häufig gehandelte Laufzeiten zu ermitteln. Daher werden Zinsstrukturen sowohl von institutionellen Anlegern, z. B. Geschäftsbanken, als auch von Zentralbanken geschätzt.

1.2 Aufbau der Arbeit

Um den Zusammenhang zwischen der Laufzeit und der effektiven Verzinsung festverzinslicher Wertpapiere aufklären zu können, wurden verschiedenste Theorien und Ansätze entwickelt. Trotz dieser Bemühungen ist das Gebiet der Zinsstrukturtheorie noch immer weit davon entfernt, einen einheitlichen Erklärungsansatz für Zinsstrukturen zu liefern. Stattdessen lässt sich vielmehr ein Nebeneinander von Hypothesen beobachten, die jeweils bestimmte Sachverhalte in Ihre Erklärungsansätze einbeziehen, andere aber dafür unberücksichtigt lassen.⁷ In der Praxis lassen sich dagegen zur Schätzung von Zinsstrukturen gänzlich andere Verfahren feststellen, durch welche die beobachteten Zusammenhänge zwischen Restlaufzeit und Verzinsung möglichst gut mit anpassungsfähigen Schätzgleichungen beschrieben werden sollen.

Ziel dieser Arbeit ist es, zum einen die wichtigsten Theorien zur Erklärung von Zinsstrukturen aufzuarbeiten, um zu überprüfen, ob diese empirisch beobachtbare Kurvenverläufe realistisch begründen und inwieweit sie wirklich tauglich sind, Aussagen von praktischer Relevanz zu treffen. Zum anderen werden die in der Praxis Anwendung findenden Schätzverfahren dargestellt, um eine Beurteilung darüber, welche Ansätze für die Schätzung realer Zinsstrukturen tatsächlich geeignet sind, zu ermöglichen. Danach sollen die mit dem meistverbreiteten Verfahren geschätzten europäischen Zinsstrukturkurven dahingehend untersucht werden, ob in einem gemeinsamen Markt mit einer einheitlichen Währung die Zinsstrukturverläufe verschiedener europäischer Länder noch wesentliche Unterschiede zueinander aufweisen.

Die Arbeit ist daher so aufgebaut, dass im zweiten Kapitel die gängigen Theorien zur Erklärung von Zinsstrukturen behandelt und die neueren Gleichgewichtsmodelle vorgestellt werden. Der dritte Abschnitt umfasst die verschiedenen in der Praxis anzutreffenden Zinsstrukturschätzverfahren. Im vierten Kapitel findet ein Vergleich europäischer Zinsstrukturkurven auf der Basis der von Zentralbanken zur Verfügung gestellten Schätzergebnisse statt. Das letzte Kapitel beinhaltet eine Auswertung der in der Arbeit behandelten Thematik.

2. Theoretische Ansätze zur Erklärung der Zinsstruktur

2.1 Grundlagen der Zinsstrukturtheorie

2.1.1 Definition und Eigenschaften der Zinsstruktur

Die zu einem bestimmten Zeitpunkt beobachtbaren Zinssätze auf den Geld-, Kapital- und Kreditmärkten können sich u. a. aufgrund der Differenzierung der Bonität der Emittenten, der Fristigkeit der Anlagen und der Denomination der Wertpapiere teilweise erheblich voneinander unterscheiden. Die Vielfalt unterschiedlicher Kapitalanlagemöglichkeiten und eine dementsprechende Anzahl von Zinsstrukturen erfordert daher eine Konzentration auf bestimmte Kapitalanlagen. Zur Analyse der Zinsstruktur werden daher festverzinsliche Wertpapiere⁸ betrachtet, die hinsichtlich Emittent, Tilgungsmodus, Verzinsung und Gebühren homogen sind.⁹

Die zeitliche Zinsstruktur bzw. Fristigkeitsstruktur der Zinssätze kann nach Kath als die zu einem bestimmten Zeitpunkt existierende Menge aller Beziehungen zwischen der Verzinsung und der Restlaufzeit von Schuldverschreibungen definiert werden, welche sich hinsichtlich sämtlicher anderer Ausstattungsmerkmale nicht unterscheiden.¹⁰

In einer Zinsstrukturkurve (analog: Renditestrukturkurve, Yield Curve) lassen sich drei Grundformen von empirisch beobachtbaren Zinsstrukturverläufen verdeutlichen:¹¹

- Am häufigsten ist mit steigender Laufzeit ein Anstieg der Verzinsung von Wertpapieren zu beobachten, dieser steigende Verlauf der Zinsertragskurve ist der Normalfall.
- Seltener ist eine mit steigender Laufzeit abnehmende Verzinsung der Wertpapiere, die Zinsertragskurve hat eine negative Steigung.
- In einer äußerst seltenen Extremsituation ist die Verzinsung für alle Laufzeiten gleich, die Zinsstrukturkurve verläuft flach.

Weiterhin ist zu beobachten, dass mit zunehmender Restlaufzeit der Wertpapiere die Zinsertragsdifferenzen zwischen den Anleihen abnehmen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Grundtypen der Verläufe von Zinsstrukturkurven

2.1.2 Zinssätze und Risiken der Anlage

Von hoher Bedeutung bei der Analyse von Zinsstrukturen ist, welcher Art die Zinssätze sind, für die ein Zusammenhang mit der Laufzeit eines Wertpapiers untersucht wird. Die hierbei hauptsächlich zur Anwendung kommenden Möglichkeiten sind:¹²

- Effektivrenditen von Kuponanleihen (Yields to Maturity)
- Kassazinssätze von Zerobonds (Spot Rates)
- Terminzinssätze (Forward Rates)

Von theoretischer Relevanz ist die Beziehung zwischen der Verzinsung einer Anleihe und deren Restlaufzeit. Der entsprechende Zinssatz, die jährliche Ertragsrate, lässt sich jedoch problemlos nur für Zerobonds (Nullkuponanleihen) ermitteln, die eine einmalige Zahlung zum Ende ihrer Laufzeit darstellen. Bei dieser Form von Anleihen handelt es sich aber um die Minderheit der gehandelten Bonds, der weitaus größere Teil der am Markt befindlichen Wertpapiere sind Kuponanleihen. Aus diesen lassen sich jährliche Renditen berechnen, die allerdings, aufgrund unterschiedlicher Diskontierungsfaktoren zu den diversen Zahlungszeitpunkten, zu verschiedenen Gegenwartswerten der Renditen führen. Nur bei Unterstellung des Ausnahmefalls einer flachen Zinsstrukturkurve ergeben sich Renditen, die mit den Zinsätzen von Nullkuponanleihen identisch sind.¹³ Die Normalsituation auf den Kapitalmärkten ist jedoch durch mit der Laufzeit steigende Zinssätze gekennzeichnet, sodass sich in diesem Fall eine Renditestrukturkurve ergibt, die leicht unterhalb der Zinsstrukturkurve aus Zerobonds liegt und somit lediglich eine gute Schätzung derselben darstellt. Ein weiteres Problem bei der Berechnung der internen Zinssätze von Kuponanleihen besteht darin, dass angenommen werden muss, dass Zinserträge bis zum Ende der Laufzeit des Wertpapiers wieder angelegt werden. Dieser sog. „Kuponeffekt“ verzerrt allerdings die Renditestruktur.¹⁴

Aufgrund dessen, dass jedoch die Zinsstrukturkurve Gegenstand des Interesses ist, wird sowohl bei den theoretischen Erklärungsansätzen als auch bei Verfahren zur Schätzung der Zinsstruktur auf die Annahme von Zerobonds abgestellt. Dazu werden bspw. Zerobondzinsen aus Effektivrenditen mittels Bootstrapping abgeleitet.¹⁵ Im Weiteren wird daher ebenfalls von der Annahme von Nullkuponanleihen ausgegangen.

Der Kassazinssatz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (Spot Rate) stellt den internen Zinsfuß eines Zerobonds zum Zeitpunkt t mit einer Restlaufzeit von m = T - t Perioden dar. Unter der Bedingung von Arbitragefreiheit wird der Marktpreis P (Barwert) des Bonds bei einem Nennwert von 1 € berechnet durch:

(1) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ergibt sich als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die zu einem bestimmten Zeitpunkt resultierende Differenz zwischen den Kapitalmarktzinssätzen für Anleihen langer und kurzer Restlaufzeiten wird als Zinsspread bezeichnet.

Für die geldpolitische Analyse von Zinsstrukturen seitens der Zentralbanken ist insbesondere der in der Zinsstruktur implizite Terminzinssatz von Bedeutung. Unter Annahme der Gültigkeit der in Kap. 2.2 dargestellten Erwartungstheorie lassen sich aus dem Verlauf der Terminzinskurve die Markterwartungen über die zukünftige Entwicklung der Kassazinssätze ableiten. Daher erlaubt die Forward Rate-Kurve eine bessere Trennung der Erwartungen über die kurze, mittlere und lange Frist als die Spot Rate-Kurve.¹⁶ Insbesondere lässt sich auf Vermutungen der Marktteilnehmer über die zukünftige Zinspolitik von Zentralbanken,¹⁷ die Entwicklung der Inflation und Erwartungen über zukünftige Wechselkurse der Länder, deren Terminzinssatzstruktur betrachtet wurde, schließen.¹⁸ Allerdings muss die Forward Rate-Kurve vorsichtig interpretiert werden, da Bedenken gegenüber der Erwartungstheorie insbesondere bei der Terminzinssatzkurve zum Tragen kommen und implizite Forward Rates durch die in den folgenden Kapiteln beschriebenen Risiko- und Liquiditätsprämien stark beeinflusst werden.¹⁹

Der Terminzinssatz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (Forward Rate) in t über n Perioden für zukünftige Zeitpunkte t +i lässt sich aus den aktuellen Spot Rates für kurz- und langfristige Anleihen ermitteln. Unter der Annahme von Arbitragefreiheit ergibt sich, dass eine langfristige Anlage (z. B. über zwei Perioden) den gleichen Erlös erbringen muss wie bspw. eine zweimalige Anlage über je eine Periode. Der zum Beginn der Anlage in t unbekannte Zinssatz in t + 1 lässt sich dann berechnen als:²⁰

(2) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den allgemeinen Fall wird der Terminzins berechnet durch:²¹

(3) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Von geringerer Bedeutung bei der Untersuchung von Zinsstrukturen ist die Rendite, die sich ergibt, wenn ein Wertpapier nicht über seine gesamte Laufzeit gehalten wird. Aus Gründen der Vollständigkeit soll die Holding-Yield Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten jedoch Erwähnung finden. Sie stellt die Rendite pro Periode bei Kauf eines Wertpapiers in t mit der Restlaufzeit m und dessen Verkauf vor Fälligkeit bei einer Haltedauer von n Perioden zum Zeitpunkt t +n dar:²²

(4) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Investition in Wertpapiere können verschiedene Risiken auftreten. Da die Zinsstrukturtheorie üblicherweise Staatsanleihen ihren Betrachtungen zu Grunde legt, ist das gewöhnlich dominierende Ausfallrisiko bezüglich Kapitalrückzahlung und laufenden Zinszahlungen nicht gegeben.²³

Dennoch können Risiken alternativ in Form eines Kapitalrisikos oder eines Einkommensrisikos entstehen. Ein Kapitalrisiko aus Sicht der Anleger ergibt sich, wenn ein Kapitalgeber Wertpapiere mit einer Laufzeit erwirbt, die über seinen Anlagehorizont hinausgeht. Aufgrund von Zinssteigerungen kann der Kurs einer Anleihe zwischenzeitlich fallen, sodass bei vorzeitigem Verkauf mit Verlusten gerechnet werden muss. Ein Einkommensrisiko kann dann auftreten, wenn die Anlagedauer länger ist als die Laufzeit von Wertpapieren. Das Risiko besteht in diesem Fall darin, dass zum Ende der Laufzeit eines Wertpapiers frei werdende Mittel nur zu einem geringeren Zinssatz wieder investiert werden können.²⁴ Beide Risiken sind nur dann vollständig auszuschließen, wenn Anlagedauer und Laufzeit von Wertpapieren übereinstimmen.

Im folgenden werden die wichtigsten Theorien dargestellt, die versuchen, Erklärungshypothesen für die in der Praxis beobachtbaren Verläufe von Zinsstrukturen zu liefern.

2.2 Die traditionelle Erwartungstheorie

Die klassische Erwartungstheorie geht in ihrer ursprünglichen Form zurück auf Irving Fisher und lieferte erstmals einen Ansatz zur Erklärung von Zinsstrukturen. Ausgangspunkt ist die Überlegung, dass Kapitalanleger über die zukünftige gesamtwirtschaftliche Situation Erwartungen bilden und dabei wichtige Einflussgrößen wie z. B. die konjunkturelle Entwicklung, Inflationsprognosen und Annahmen über die zukünftige Geldpolitik zur Prognose zukünftiger Zinssätze zu Rate ziehen. Der langfristige Zinssatz für Wertpapiere ist in diesem Modell als „eine Art Durchschnitt“²⁵ der kurzfristigen Zinssätze erklärbar.

Der erwartungstheoretischen Erklärung der Zinsstruktur von Fisher liegen einige sehr restriktiven Prämissen zugrunde:²⁶

1. Die Anleger habe eine vollständige Voraussicht²⁷ über alle in der Zukunft liegenden Zinssätze, d. h. jede Art von Unsicherheit wird ausgeschlossen.
2. Die Erwartungen aller Anleger bezüglich der zukünftigen Zinssätze sind identisch.²⁸
3. Für alle Wertpapiere ist das Risiko ausgeschlossen, dass regelmäßige Zinszahlungen oder Rückerstattung des Kapitals ausbleiben.
4. Basis für die Anlageentscheidung ist die Laufzeit eines langfristigen Wertpapiers.
5. Anleger handeln rational und haben keine Präferenzen bezüglich der Anlagezeiten.
6. Transaktionskosten werden vernachlässigt.

Aufgrund dieser Annahmen muss die Verzinsung einer langfristigen Kapitalanlage mit dem Zinssatz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für eine Laufzeit von n Jahren zum Zeitpunkt t:

(5) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gleich der Verzinsung einer kurzfristigen Kapitalanlage zum selben Zeitpunkt über ebenfalls n Jahre sein. Diese berechnet sich bei Wiederanlage des jährlichen Ertrags aus dem gegenwärtigem kurzfristigen Zinssatz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten über eine Periode und den in t erwarteten kurzfristigen Zinssätzen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bis Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (unter Verwendung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten als Erwartungswert in t für zukünftige Zeitpunkte Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) gemäß:

(6) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das daraus resultierende Marktgleichgewicht wird demzufolge beschrieben durch:²⁹

(7) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ist diese Gleichgewichtssituation nicht gegeben, so setzten von Seiten der Anleger, für die kurz- und langfristige Wertpapiere aufgrund nicht vorhandener Präferenzen bezüglich des Anlagezeitraumes perfekte Substitute darstellen, sofort Arbitrageprozesse ein, die zur Wiederherstellung des Marktgleichgewichts führen.

Die Kernaussage der Erwartungstheorie ergibt sich durch Umformung von Gleichung (7 TBA) und beinhaltet, dass sich der Zinssatz für langfristige Wertpapiere als geometrisches Mittel des gegenwärtigen und der erwarteten Zinssätze für kurzfristige Wertpapiere berechnet.

(8) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mittels linearer Approximation³⁰ lässt sich die Gleichung für den langfristigen Zinssatz bestimmen als:

(9) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bzw.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus dem unterstellten Zusammenhang zwischen kurz- und langfristigem Zinssatz lassen sich die folgenden Aussagen bezüglich des Verlaufs der Zinsstrukturkurve treffen:

- Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, wenn von den Anlegern für die zukünftigen erwarteten kurzfristigen Zinssätze Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ... Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten höhere Werte als für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erwartet werden, dies hat einen normalen Verlauf der Zinsertragskurve zur Folge,
- Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, wenn für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ... Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten geringere Zinssätze als für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erwartet werden, die Folge ist ein inverser Verlauf der Zinsertragskurve,
- Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, wenn keine Änderung der zukünftigen kurzfristigen Zinssätze im Vergleich zum gegenwärtigen kurzfristigen Zinssatz erwartet wird, die Zinsertragskurve verläuft dann flach.

Aus der Gleichgewichtsbeziehung lässt sich des Weiteren der implizite Terminzins Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten berechnen (s. Kap. 2.1.2 TBA). Aufgrund der Annahme der Erwartungstheorie, dass die Terminzinssätze Prognosen zukünftiger Spot Rates darstellen, erhält die Aussage, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten dem erwarteten kurzfristigen Zinssatz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten entspricht, einen ökonomischen Gehalt.³¹ Allgemein kann daher festgehalten werden, dass:³²

(10) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine dritte Aussage der Erwartungstheorie postuliert, dass die von Investoren erwarteten Holding Yields Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für m -periodige Anleihen über die nächsten n Perioden der Verzinsung einer Anleihe über n Perioden entsprechen müssen:³³

(11) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten , Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Erklärungswert der traditionellen Erwartungstheorie muss als gering gewertet werden. Die Theorie besagt, dass die heutige Form der Zinsstruktur von den erwarteten zukünftigen Zinssätzen abhängt, jedoch wird keine Aussage darüber getroffen, worauf die Erwartungen der Marktteilnehmer beruhen. Es werden zwar die empirisch beobachtbaren Grundformen der Zinsstrukturkurve begründet, jedoch wird eine Antwort auf die Frage, welcher Verlauf häufiger auftritt, nicht gegeben. Die Ursache hierfür ist in den sehr restriktiven und wirklichkeitsfernen Modellannahmen zu suchen. Insbesondere die Annahme der vollständigen Voraussicht führt zu einem Ausschluss jeglicher Unsicherheit bezüglich der zukünftigen Zinsentwicklung. Die Zinsstruktur ergibt sich damit als reines Rechenkalkül der Kapitalanleger.³⁴ Sowohl Einkommens- als auch Kapitalrisiko kann es unter diesen Voraussetzungen nicht geben. Aufgrund dieser u. a. von Malkiel und Hicks ³⁵ vorgetragenen Kritik kam es zu Weiterentwicklungen der Erwartungstheorie, in denen die Modellprämissen der Realität angenähert wurden.

2.3 Neuere erwartungstheoretische Modelle

2.3.1 Die modifizierte Erwartungstheorie von Lutz

Um der Erwartungstheorie mehr Aussagekraft zu verleihen, nahm Lutz wesentliche Modifikationen in ihren klassischen Annahmen vor, um sie wirklichkeitsnäher zu gestalten. Zunächst wurden Transaktionskosten eingeführt, durch welche der Kauf und Verkauf von Wertpapieren nicht mehr kostenlos möglich ist.³⁶ Die entstehende Zinsstruktur ist eine andere als die, die sich ohne die Annahme von Transaktionskosten ergibt. In einem zweiten Schritt wurde die Annahme der vollständigen Voraussicht der Anleger aufgelöst.³⁷ Durch die Einführung von Risiko werden Anleger nun erstmals Risiko-Rendite-Erwägungen anstellen und sich bei Unterstellung von Risikoaversion nur dann für risikoreichere Anlagen entscheiden, wenn für diese eine Risikoprämie in Form eines höheren Zinssatzes gezahlt wird.³⁸ Die Aufgabe dieser klassischen Annahme führt jedoch nur zu einer Einführung des Einkommensrisikos, das Kapitalrisiko wird dadurch, dass Investoren wie bisher ihren Anlagehorizont an der Laufzeit eines langfristigen Wertpapiers ausrichten, weiterhin ausgeschlossen.³⁹

Eine weitere wichtige Änderung der Annahmen besteht darin, dass Anleger nicht länger homogene Erwartungen bezüglich der Entwicklung zukünftiger Zinssätze haben.⁴⁰ Zudem führen die von einem Anleger erwarteten kurzfristigen Zinssätze nicht mehr zwingend zu einer Erwartung über einen langfristigen Zinssatz, da jener nicht von den Erwartungen dieses einzelnen Investors abhängt, sondern von der Erwartung des Marktes, d. h. sämtlicher Geldanleger. Die Annahmen eines Investors über einen zukünftigen langfristigen Zinssatz können sich somit von seinen Annahmen über zukünftige kurzfristige Zinssätze unterscheiden.⁴¹

Der Aussagegehalt der Erwartungstheorie von Lutz ist kein wesentlich anderer als der der traditionellen Erwartungstheorie. Der langfristige Zinssatz kann zwar nicht als exakter Durchschnitt der erwarteten kurzfristigen Zinssätze beschrieben werden, jedoch liegt zweifellos eine Abhängigkeit des langfristigen Zinssatzes von der Summe der Erwartungen der Marktteilnehmer bezüglich der Entwicklung der kurzfristigen Zinssätze vor.⁴²

Ein Mangel der Erwartungstheorie, die Annahme der Laufzeit eines langfristigen Wertpapiers als Anlagehorizont, wird jedoch auch von Lutz außer acht gelassen. Anleger müssen somit zum Anlagezeitpunkt Erwartungen über kurzfristige Zinssätze der nächsten Jahre bilden. Dass dies mit zunehmender Laufzeit schwieriger wird, stellt einen Ansatzpunkt deutlicher Kritik dar.⁴³

2.3.2 Das Normalintervallmodell von Malkiel

Im erwartungstheoretischen Modell von Malkiel wird das Zinsniveau der Vergangenheit in die Betrachtung aufgenommen. Aufgrund von Erfahrungswerten ergibt sich für Investoren ein erwarteter normaler Zinsschwankungsbereich mit Zinsober- und -untergrenzen. Es wird angenommen, dass diese historische Schwankungszone auch in der Zukunft weiter gilt.⁴⁴ Die Marktteilnehmer schränken für ihre Überlegungen diese Schwankungsbreite weiter auf eine plausible Annahme über Maximal- und Minimalwerte für ein Jahr ein.⁴⁵

Malkiel stellt in einem einperiodigen Modell einen Entscheidungsprozess dar, den Anleger durchlaufen. Entsprechend der Lage des momentanen Zinssatzes innerhalb des Zinsintervalls bilden diese Erwartungen über die Richtung der zukünftigen Zinsänderung, d. h. ob für die Zukunft geringere oder höhere Zinssätze wahrscheinlich sind. Liegt der Zinssatz am oberen Ende der Schwankungszone, so ist eine Zinssenkung wahrscheinlich, bei einem Zinssatz am unteren Ende des Schwankungsbereiches ist die Wahrscheinlichkeit für einen Zinsanstieg höher. Es kann rechnerisch aufgezeigt werden, dass sich bei Zinssätzen in der unteren Hälfte des Zinsschwankungsbereiches unter Gewichtung mit den subjektiven Eintrittswahrscheinlichkeiten der bei Zinssteigerungen- bzw. Zinssenkungen möglichen Gewinne und Verluste eine steigende Zinsstrukturkurve ergibt. Analog entsteht bei Zinssätzen im oberen Intervallbereich eine fallende Zinsstrukturkurve.⁴⁶

Aufgrund von empirischen Erhebungen kommt Malkiel zu der Erkenntnis, dass kurzfristige Zinssätze volatiler sind als die Zinssätze für langfristige Wertpapiere. Die Schwankungsbreite der Zinsen nimmt folglich mit zunehmender Restlaufzeit ab. Dies ändert jedoch nichts an den Ergebnissen des Modells, es lässt sich lediglich ein stärkeres Ansteigen bzw. Fallen der Zinsstrukturkurve beobachten.⁴⁷

Malkiel erklärt weiterhin den mit zunehmender Laufzeit abflachenden Verlauf der Zinsstrukturkurve. Aufgrund des Zusammenhangs in (1 TBA) zwischen Preis und Rendite eines Wertpapiers sind bei Änderungen der Effektivverzinsung gegenüber der Nominalverzinsung die Kursänderungen einer Anleihe umso größer, je länger deren Laufzeit ist. Die Preisänderung pro Periode nimmt jedoch mit zunehmender Laufzeit immer mehr ab.⁴⁸

Die Modifizierung der Erwartungstheorie durch Malkiel stellt eine erhebliche Annäherung an die Realität dar. Die zu einem bestimmten Zeitpunkt existierende Zinsstruktur ist durch die Erwartung der Anleger über die Entwicklung der Effektivverzinsung erklärbar, die sich nur innerhalb eines erfahrungsabhängigen Intervalls vollziehen kann. Der Ansatz führt somit zu einer wirklichkeitsnäheren Begründung realer Zinsstrukturkurven als in der traditionellen Erwartungstheorie. Das Überwiegen einer steigenden Zinsertragskurve in empirischen Untersuchungen wird jedoch auch von diesem Ansatz nicht geklärt.⁴⁹

2.4 Die Liquiditätsprämientheorie

Die von Hicks entwickelte Liquiditätspräferenztheorie⁵⁰ baut auf den Aussagen der Erwar­tungstheorie auf. Die wesentliche Erweiterung dieser Theorie besteht in der Berücksichtigung von Unsicherheit der Kapitalanleger in Hinblick auf die zukünftige Zinsentwicklung. Entscheiden sich Investoren für langfristige Wertpapiere, ist bei vorzeitigem Verkauf dieser Wertpapiere aufgrund eines Liquiditätsbedarfs ein Kursverlust möglich, wenn sich Zinsen nicht den Erwartungen der Investoren entsprechend entwickelt haben. Hicks schließt daraus, dass Kapitalgeber generell kurzfristige Anlageformen bevorzugen. Der Liquiditätsprämientheorie liegt somit die Annahme von risikoaversen Anlegern zu Grunde. Außerdem stellen lang- und kurzfristige Wertpapiere keine vollkommenen Substitute mehr dar. Da Kapitalnachfrager aufgrund langfristiger Planungssicherheit tendenziell langfristige Anleihen bevorzugen, ist der Wertpapiermarkt durch eine „constitutional weakness“⁵¹ gekennzeichnet.

Damit Investoren trotz ihrer Vorliebe für kurzfristige Anlagen auch langfristige Wertpapiere erwerben, müssen diese mit einer höheren Verzinsung ausgestattet sein, um das aus Investorensicht zusätzliche Risiko zu kompensieren und die langfristige Anlage attraktiv zu gestalten.⁵² Hicks stellt daher fest, dass die Forward Rate für Wertpapiere nicht nur wie in der Erwartungstheorie durch die erwartete Spot Rate einer zukünftigen Anlageperiode bestimmt wird, sondern diese um eine Liquiditätsprämie übersteigt.⁵³ Eine solche in t erwartete⁵⁴ Liquiditätsprämie L für eine Investition in ein Wertpapier in t +i muss in Abhängigkeit von der Anlagedauer n erhöht werden, da sich mit steigender Kapitalüberlassungsdauer die Risiken für den Anleger erhöhen.⁵⁵

(12) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten , Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch die Annahmen von Hicks kann der Normalverlauf der Zinsstrukturkurve schon bei Unterstellung neutraler Erwartungen erklärt werden. Die sich gemäß der reinen Erwartungstheorie ergebenden gleichen kurz- und langfristigen Zinsen führen zu einem flachen Verlauf der Zinsertragskurve. Aufgrund der mit zunehmender Laufzeit steigenden Liquiditätsprämien ergibt sich jedoch gemäß der Liquiditätspräferenztheorie bereits eine steigende Zinsstruktur.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Zinsstruktur mit und ohne Liquiditätsprämie bei Erwartung gleicher Zinssätze

Quelle: Malkiel (1966), S. 70.

Es lassen sich jedoch auch fallende oder horizontale Verläufe der Zinsstrukturkurve erklären, wenn angenommen wird, dass Investoren fallende kurzfristige Zinssätze erwarten.⁵⁶ Das Liquiditätsrisiko von Anlegern nimmt mit steigender Laufzeit zwar zu, jedoch nicht gleichbleibend aufgrund des unterproportional steigenden Kursverlustrisikos pro Zeiteinheit. Dementsprechend wird auch die zu zahlende Risikoprämie mit zunehmender Laufzeit nur mit abnehmendem Zuwachs erhöht, so dass sich der typische abflachende Verlauf der Zinsertragskurve ebenfalls erklären lässt.⁵⁷

Die Liquiditätsprämientheorie erklärt den Normalfall des steigenden Kurvenverlaufs aufgrund von Liquiditätsvorlieben der Anleger auf realistische Weise. Da sie aber ebenfalls auf den gebildeten Erwartungen der Anleger aufbaut, müssen die selben Kritikpunkte angebracht werden wie bei der klassischen Erwartungstheorie.

2.5 Die allgemeine Präferenztheorie

Die allgemeine Präferenztheorie stellt eine Weiterentwicklung der Liquiditätsprämientheorie von Hicks dar. Sie beruht auf den Annahmen von Robinson, dass für Anleger nicht nur ein Kapitalrisiko, sondern ebenfalls ein Einkommensrisiko existent ist.⁵⁸ Es wird argumentiert, dass es für einige Anleger von besonderer Wichtigkeit ist, sich über die gesamte Anlagedauer auf zukünftige Zinszahlungen verlassen zu können. Diese Anleger haben somit nicht ein Kapitalrisiko als dominantes Risiko vor Augen, sondern ein Einkommensrisiko. Daher werden solche Kapitalgeber nicht kurzfristige Anlagen bevorzugen, sondern eine Vorliebe für langfristige Wertpapiere besitzen.

Auf dem Kapitalmarkt sind nunmehr sowohl Anleger aktiv, die vorwiegend das Kapitalrisiko bei Investitionen in Wertpapiere als das hauptsächliche Risiko einstufen, als auch solche, die das Einkommensrisiko als wesentlich erachten. Damit erstere sich für eine langfristige Anlageform entscheiden, muss ihnen analog zur Liquiditätspräferenztheorie eine positive Liquiditätsprämie gezahlt werden. Um den vorwiegend an langfristigen Wertpapieren interessierten Anleger zu einem Wechsel auf kurzfristige Bonds zu bewegen, muss für diesen die Verzinsung der kurzfristigen Wertpapiere attraktiver, d. h. höher als die Verzinsung der langfristigen Anleihen werden. Dieser Anleger ist weiterhin wegen der mit zunehmender Fristigkeit für ihn steigenden Sicherheit bereit, einen Nachteil in der Verzinsung in Form einer Liquiditätsprämie, die negativ ist, zu akzeptieren.⁵⁹ Aufgrund der verschiedenen Ausprägungen der Risikoaversion der Marktteilnehmer müssen damit sowohl positive als auch negative Liquiditätsprämien existieren.

(13) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten , Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Angesichts des Vorhandenseins von Investoren mit Präferenzen für lang- oder kurzfristige Wertpapiere mit Liquiditätsprämien unterschiedlicher Vorzeichen kann aus dieser Schlussfolgerung keine Zinsstruktur bestimmt werden, die für alle Investoren unabhängig von deren Präferenzen für Anlagezeiträume gilt. Faßbender erklärt jedoch die Fristigkeitsstruktur der Zinssätze nach der allgemeinen Präferenztheorie mit Hilfe des Angebots an Schuldtiteln. Die Höhe des Terminzinssatzes wird demzufolge von der Fristigkeitszusammensetzung des Angebotes an Wertpapieren bestimmt. Bei einer Erhöhung des Angebotes an langfristigen Schuldpapieren ist ein Ansteigen des Terminzinssatzes festzustellen.⁶⁰

Die allgemeine Präferenztheorie hat in der Zinsstrukturtheorie nur einen geringen Stellenwert. Eine wesentliche Ursache dafür ist in der begrenzten Aussagekraft hinsichtlich der Erklärung von Zinsstrukturverläufen zu suchen. Die Einführung des Einkommensrisikos in die Erklärungshypothesen stellt jedoch einen Fortschritt dar, auf den weitere Theorien aufbauen.

2.6 Die Marktsegmentationshypothese

Die von Culbertson vertretene Marktsegmentationstheorie⁶¹ berücksichtigt ebenfalls sowohl Einkommens- als auch Kapitalrisiko. Es wird angenommen, dass Marktteilnehmer bezüglich beider Risiken völlig risikoavers sind. Eine vollständige Risikovermeidung ist jedoch nur dann möglich, wenn der Anlagezeitraum eines Investors völlig mit der Laufzeit der von ihm gewählten Anlageform übereinstimmt.⁶²

Anleger und Schuldner kaufen bzw. verkaufen aufgrund dessen nur solche Wertpapiere, die in der Restlaufzeit mit ihrem Anlagehorizont übereinstimmen. Wertpapiere unterschiedlicher Laufzeiten sind nun aus Sicht der Marktteilnehmer nicht länger gegeneinander substituierbar, sodass sich der Kapitalmarkt in einzelne, klar nach Laufzeiten abgegrenzte Marktsegmente für Wertpapiere aufgliedert.⁶³

Die Gebundenheit der Investoren an ein bestimmtes Marktsegment erklärt sich aus der Geschäftstätigkeit der Marktteilnehmer. So sind z. B. Lebensversicherungsgesellschaften im Marktsegment für langfristige Anleihen tätig, da diese Unternehmen in der Zukunft zu festgelegten Zeitpunkten Auszahlungen leisten müssen. Durch den Kauf von Wertpapieren, die zum gleichen Zeitpunkt fällig werden, wird eine vollständige Absicherung dieser zukünftigen Zahlungen erreicht. Geschäftsbanken sind hingegen aufgrund ihres hohen Liquiditätsbedarfs, der auf kurzfristigen Einlagen ihrer Kunden beruht, nur in Marktsegmenten für Wertpapiere mit kurzen Laufzeiten aktiv.⁶⁴ Infolge der unbedingten Präferenz der Investoren für ein bestimmtes Laufzeitspektrum sind diese auch dann nicht bereit, in ein anderes Marktsegment zu wechseln, wenn ihnen dafür eine Prämie gezahlt werden würde.⁶⁵

Aufgrund der Segmentierung des Wertpapiermarktes ergeben sich in jedem Teilmarkt die den einzelnen Laufzeiten entsprechenden Zinssätze durch Angebot und Nachfrage völlig unabhängig voneinander.⁶⁶ Culbertson stellt den Normalfall der steigenden Zinsstrukturkurve als Ergebnis dieses Prozesses dar. Mit Hilfe der Annahme, dass der Großteil der Kapitalnachfrager tendenziell langfristige Finanzierungsmittel bevorzugt und die Mehrheit der Investoren eher kurze Laufzeiten favorisiert, entsteht die Situation, dass es im Marktsegment für langfristige Kapitalanlagen zu einer Überschussnachfrage nach Kapital kommt, während im Marktsegment für kurzfristige Anleihen ein Überschussangebot an Kapital vorzufinden ist. Dies führt dazu, dass für langfristige Wertpapiere ein vergleichsweise höherer Zins gezahlt werden muss als für kurzfristige Anlageformen. Die Zinsstruktur ist demzufolge Ergebnis der Knappheitsrelationen in den jeweiligen Marktsegmenten.⁶⁷

Kritik am Konzept segmentierter Märkte findet sich sowohl hinsichtlich seiner Annahmen als auch der Aussagen zum Verlauf der Zinsstruktur. So ist es eher unwahrscheinlich, dass sich bei unabhängiger Zinsbildung in verschiedenen Laufzeitsegmenten ein monotoner Verlauf der Zinsstrukturkurve ergibt.⁶⁸ Weiterhin wird die strikte Risikoaversion der Marktteilnehmer mit dem Ergebnis der Festlegung auf ein bestimmtes Marktsegment als zu restriktiv und wirklichkeitsfern kritisiert⁶⁹ und bemängelt, dass gemäß dieser Theorie die Zinserwartungen der Investoren keinerlei Bedeutung haben und dass stattdessen die Bedeutung der individuellen Präferenzen übertrieben wird.⁷⁰ Die Marktsegmentationstheorie spielt heute nur noch eine untergeordnete Rolle, sie wird lediglich als Gegenposition zur Erwartungstheorie gesehen.

2.7 Die Preferred Habitat Theory

Modigliani und Sutch stellten im Zusammenhang mit der Beurteilung von geldpolitischen Maßnahmen in den USA zur Beeinflussung der Zinsstruktur⁷¹ die Preferred Habitat Theory auf. Sie vereint in ihrem Ansatz die Aussagen der Liquiditätsprämientheorie, der allgemeinen Präferenztheorie sowie der Marktsegmentationstheorie. Aufbauend auf der Arbeit von Culbertson werden Investoren unterstellt, die aus Gründen der Vermeidung von Einkommens- und Kapitalrisiko lediglich Wertpapiere kaufen, deren Laufzeit mit dem Anlagehorizont der Investoren übereinstimmen, sodass sich ebenfalls ein segmentierter Markt für Wertpapiere ergibt. Diese Marktsegmente werden als Habitate bezeichnet.⁷²

Im Gegensatz zur Marktsegmentationstheorie wird jedoch die realistischere Annahme getroffen, dass zumindest ein Teil der Anleger dazu bereit ist, in ein anderes Marktsegment zu wechseln, das nicht dem Zeitraum entspricht, für den Investoren Mittel zur Verfügung stehen. Dies geschieht, wenn ein übermäßig hoher Anreiz existiert, der zumindest die Transaktionskosten des Marktsegmentwechsels und eine Risikokompensation umfassen muss.⁷³

Ein solcher Anreiz wird in Form von Risikoprämien angenommen, die dazu führen können, dass Investoren ihre Mittel zwischen Marktsegmenten verschiedener Laufzeiten umschichten, um von einer möglichen höheren Verzinsung ihres Kapitals zu profitieren.⁷⁴ Eine solche Risikoprämie auf den gemäß der reinen Erwartungstheorie zu vermutenden Zinssatz kann sowohl positiv als auch negativ sein. Ist in einem bestimmten Laufzeitsegment die Nachfrage größer als das Angebot, entsteht eine positive Risikoprämie, ist das Angebot größer, eine negative.⁷⁵ Die Zinsstruktur wird folglich in den einzelnen Marktsegmenten analog der Marktsegmentationstheorie durch die Knappheitsrelation zwischen Angebot und Nachfrage bestimmt, aber auch durch die Präferenzen der Marktteilnehmer bezüglich des Anlagezeitraumes.⁷⁶

Angesichts der vorhandenen Substitutionsmöglichkeiten zwischen Anleihen kurzer und langer Laufzeit gelten die wesentlichen Aussagen der Erwartungstheorie auch im Preferred Habitat Ansatz. Analog zur allgemeinen Präferenztheorie bzw. zur Liquiditätsprämientheorie, die gewissermaßen einen Spezialfall der Preferred Habitat Theory darstellt, bei der alle Anleger eine Präferenz für kurze Laufzeiten haben,⁷⁷ ist die Risikoprämie Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bei der Bildung von Forward Rates zu berücksichtigen.⁷⁸

(14) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten , Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Preferred Habitat Theory trifft wirklichkeitsnahe Annahmen über das Anlageverhalten von Investoren und den Gegebenheiten am Kapitalmarkt. Sie stellt daher einen erheblichen Fortschritt gegenüber den bisher vorgestellten Modellen dar. Kritik muss allerdings hinsichtlich der Erklärung der beobachteten empirischen Zinsstrukturverläufe angebracht werden. So gibt die Preferred Habitat Theory keinen Aufschluss darüber, wieso überwiegend ein ansteigender Verlauf der Zinsstrukturkurve zu verzeichnen ist.⁷⁹ Weiterhin ist analog zur Marktsegmentationstheorie festzustellen, dass sich ein monotoner Kurvenverlauf aufgrund völlig unabhängiger Angebots- und Nachfragekonstellationen in den verschiedenen Marktsegmenten nur im Ausnahmefall ergeben kann.

2.8 Zeitstetige Gleichgewichtsmodelle

Eine erhebliche Ergänzung der Erklärungsansätze für Zinsstrukturverläufe stellen wahrscheinlichkeitstheoretische, zeitstetige Gleichgewichtsmodelle dar. Die Entwicklung derartiger Modelle begann nach Einführung der Stochastik in die Finanzwissenschaft durch Black und Scholes.⁸⁰ Im Gegensatz zu den bisher beschriebenen Theorien wird in den Gleichgewichtsmodellen die Dynamik der Zinssätze im Zeitablauf berücksichtigt. Sie unterscheiden sich im Wesentlichen darin, welche Annahmen über den den Modellen zugrundeliegenden Zinsänderungsprozess getroffen werden.⁸¹

Gleichgewichtsmodelle können entsprechend der Anzahl der unabhängigen Faktoren, welche die Entwicklung der Zinsstruktur bestimmen, in Ein-Faktor oder Mehr-Faktor-Modelle bzw. entsprechend der Art des Zinssatzes, welcher als Modellfaktor dient, in Short Rate oder Forward Rate-Modelle unterteilt werden. Unter der Short Rate wird der Zinssatz für ein infinitesimal kurzes Zeitintervall verstanden.⁸² Die im Folgenden dargestellten beiden Gleichgewichtsmodelle stellen typische Vertreter der Short Rate-Modelle dar, bei denen die Restlaufzeit von Anleihen die einzige unabhängige Variable ist.

2.8.1 Das Modell von Vasicek

Im Gleichgewichtsmodell von Vasicek folgt die Dynamik der Short Rate r einem Ornstein-Uhlenbeck -Prozess , der durch folgende stochastische Differenzialgleichung ausgedrückt wird:⁸³

(15) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten , mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ≥ 0

Dabei beschreibt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die unmittelbare Strömungsrichtung des Prozesses, die ihn ständig zum langfristigen Durchschnitt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der Short Rate zieht (mean reverting), mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten als Anpassungsgröße (Mean-Reversion-Faktor). Weiterhin stellt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten das stochastische Element der Gleichung dar, welches bewirkt, dass sich der Prozess um Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten unregelmäßig, aber kontinuierlich bewegt. Dabei ist es auch möglich, dass die Short Rate einen negativen Wert einnimmt, weshalb Modelle, die einen Ornstein-Uhlenbeck -Prozess zugrunde legen, häufig als unrealistisch bezeichnet werden. Die Wahrscheinlichkeit für eine Short Rate kleiner als null ist allerdings bei Wahl geeigneter Parameter für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten sehr gering.⁸⁴

Die Prämissen des Modells von Vasicek beinhalten, dass, beruhend auf den Annahmen der Erwartungstheorie, die Zinsstruktur ausschließlich von den homogenen Erwartungen der Marktteilnehmer über zukünftige Spot Rates abhängt. Weiterhin wird ein effizienter Markt ohne Transaktionskosten, mit rational handelnden Marktteilnehmern und allen gleichzeitig zur Verfügung stehenden Informationen angenommen.⁸⁵

Ausgehend von dem die Entwicklung der Short Rate beschreibenden o. g. Prozess kann eine stochastische Differenzialgleichung für die Bestimmung des Preises von Zerobonds⁸⁶ unter der Bedingung von Arbitragefreiheit hergeleitet werden. Durch Umformung ergibt sich die Zinsstrukturfunktion in Abhängigkeit von der Restlaufzeit m der Anleihen als:⁸⁷

(16) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Parameter dieser Zinsstrukturfunktion sind sämtlich ökonomisch interpretierbar, wobei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die Rendite eines Wertpapiers mit unendlicher Laufzeit (Konsol) darstellt. Der Vorteil des Gleichgewichtsmodells von Vasicek besteht in der vergleichsweise einfachen Abhängigkeit der Zinsstruktur von den Prozessparametern.⁸⁸ Die Beschränkung dieses Ansatzes auf eine unabhängige Variable, die Restlaufzeit, wird jedoch teilweise als zu restriktiv angesehen.⁸⁹

2.8.2 Das Cox/Ingersoll/Ross- Modell

Das bekannteste Gleichgewichtsmodell stellt das von Cox/Ingersoll/Ross (CIR) dar. Ihre Aussagen zur Zinsstruktur beruhen auf einem intertemporalen ökonomischen Gleichgewichtsmodell mit einem einzigen Gut, repräsentativen Konsumenten und Investoren,⁹⁰ welches Elemente der traditionellen Zinsstrukturtheorien beinhaltet.⁹¹ Dieses Modell ist prinzipiell jedoch auch für andere ökonomische Anwendungsgebiete geeignet, sofern Zustandsvariablen und der angenommene stochastische Prozess entsprechend definiert werden.⁹²

Beruhend auf diesem Gleichgewichtsmodell wird für ein Ein-Faktor-Modell der Zinsstruktur der Zinsänderungsprozess ausgedrückt durch:⁹³

(17) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten , mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ≥ 0

Neben den unterschiedlichen Modellannahmen stellt somit die Modifizierung der Zinsdynamik hinsichtlich der Verwendung eines Squareroot-Prozesses, bei dem die Veränderung der Short Rate von der Quadratwurzel des aktuellen Zinsniveaus bestimmt wird,⁹⁴ den wesentlichen Unterschied zum Vasicek -Modell dar. Aufgrund der Annahme dieses Prozesses kann der Zinssatz im Gegensatz zum obigen Modell keinen negativen Wert einnehmen.⁹⁵

CIR leiten von dieser Funktion eine Preisgleichung für die Bewertung von Zerobonds ab, die ausschließlich von der Ausprägung des existierenden Zinsniveaus r als einziger unabhängiger Variable, den Werten der Parameter Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und der Risikoprämie für den repräsentativen Investor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, die als Teil der CIR -Modellwirtschaft exogen vorgegeben ist, sowie der Laufzeit m abhängt. Aufgrund des Zusammenhangs in (1 TBA) stellt eine solche Preisgleichung ebenfalls einen Ausdruck der Zinsstruktur dar.

Der arbitragefreie Preis eines Zerobonds ergibt sich im CIR -Modell als:⁹⁶

(18) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Preis von Zerobonds stellt nach dieser Gleichung eine abnehmende Funktion des Zinssatzes r und gleichzeitig eine zunehmende Funktion der Laufzeit m dar.⁹⁷ Sowohl steigende als auch fallende Zinsstrukturkurven können mit diesem Modell erklärt werden. Durch Wahl der entsprechenden Parameter lassen sich auch komplexe Zinsstrukturverläufe beschreiben.⁹⁸

Kritik am CIR -Modell wird dahingehend geäußert, dass die wie im Vasicek -Modell stattfindende Beschränkung auf eine unabhängige Variable zur Zinsstrukturerklärung als nicht adäquat erachtet wird.⁹⁹ Empirische Untersuchungen konnten bisher nur geringe Unterstützung für den dem Modell zugrundeliegenden Zinsänderungsprozess liefern und die Zinsstrukturkurve nicht für alle Laufzeiten bestätigen.¹⁰⁰ CIR stellen jedoch auch ein Modell der Zinsstruktur mit mehreren Faktoren auf, das den Vorteil hat, flexibler in seinen Ergebnissen hinsichtlich der Beschreibung der Zinsstruktur zu sein, weisen aber darauf hin, dass ein solches Modell wesentlich schwerfälliger und schwieriger zu analysieren ist.¹⁰¹

Der Vorteil der beiden beschriebenen Gleichgewichtsmodelle liegt darin, dass der zugrundeliegende Zinsänderungsprozess die Zinsstruktur dazu bringt, zum einen für Laufzeiten, die gegen null gehen, einen Wert einzunehmen, der mit der Short Rate übereinstimmt und zum anderen für Laufzeiten, die gegen unendlich gehen, einen Zinssatz einzunehmen, der einer Funktion des langfristigen Durchschnittszinssatzes Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten entspricht. Ein wesentlicher Nachteil beider Modelle besteht in der bereits beschriebenen Abhängigkeit von einer einzigen unabhängigen Variablen, die dazu führt, dass die Dynamik der Zinsstrukturentwicklung zu stark eingeschränkt wird und dass die aus diesen Modellen gewonnenen Kurven die reale Zinsstruktur nur ungenügend beschreiben.¹⁰²

2.9 Bewertung der vorgestellten Ansätze

Die dargestellten Theorien zur Erklärung der Zinsstruktur basieren teilweise auf unterschiedlichen und nicht miteinander vereinbaren Ansätzen. Liquiditätsprämientheorie, allgemeine Präferenztheorie sowie Preferred Habitat Theory fußen auf den Annahmen der Erwartungstheorie. Ihnen kommt heute die größte Bedeutung bei der Erklärung von Zinsstrukturen zu, da sie die real beobachtbaren Verläufe plausibel erklären können.¹⁰³ In verschiedenen Untersuchen wurde versucht, die Gültigkeit der o. g. Zinsstrukturtheorien zu belegen bzw. zu wiederlegen, die gefundenen Ergebnisse waren allerdings höchst unterschiedlich.¹⁰⁴

In Anbetracht der Vielzahl der Analysen wird hier nur auf die wichtigsten zur Erwartungstheorie eingegangen. Diese konzentrierten sich im Wesentlichen darauf, ob der Terminzinssatz den zukünftigen kurzfristigen Zinssatz unverzerrt darstellt. Culbertson gelangte zu einem Ergebnis, dass die Erwartungstheorie widerlegt,¹⁰⁵ da die zukünftigen Zinssätze durch den Terminzinssatz systematisch überschätzt werden.¹⁰⁶ Zu einem gänzlich anderen Resultat kommt Meiselmann, der von der Fehlerhaftigkeit der Prognosen der Markteilnehmer hinsichtlich der zukünftigen Zinsentwicklung ausgeht,¹⁰⁷ welche die Differenz zwischen Terminzinssatz und tatsächlichem kurzfristigem Zinssatz erklärt. Damit wird jedoch die Annahme der vollständigen Voraussicht fallengelassen. Gemäß des von Meiselmann entwickelten Fehler-Lern-Modells berücksichtigen die Akteure bei erneuter Erwartungsbildung die tatsächliche Zinsentwicklung und korrigieren somit von Periode zu Periode ihre Schätzungen. Mittels dieser Annahme kommt Meiselmann zu einem die Erwartungstheorie bestätigenden Urteil, da eine hohe Korrelation zwischen Prognosefehler und Erwartungsänderung festgestellt werden konnte.¹⁰⁸ Ebenfalls auf der Annahme von fehlerhaften Vermutungen seitens der Marktteilnehmer baut die Arbeit von Michaelson auf, der das empirische Material von Culbertson dahingehend untersuchte und die ermittelten Zinsdifferenzen ebenfalls auf Prognosefehler zurückführen konnte.¹⁰⁹

Geringe Bedeutung kommt heute der allgemeinen Präferenztheorie, die eine Grundlage der Preferred Habitat Theory darstellt, und der Marktsegmentationstheorie zu, welche aufgrund der Annahme, dass Anleger unter keinen Umständen bereit sind, in ein anderes Marktsegment zu wechseln, als äußerst unrealistisch abgelehnt werden muss und ebenfalls nur als Grundlage der Preferred Habitat Theory Berücksichtigung findet.

Zur Erklärung von Zinsstrukturen wurden in den letzten Jahren zunehmend die verschiedenen Gleichgewichtsmodelle herangezogen. Die vorgestellten Modelle von Vasicek und Cox/Inger­soll/Ross beschreiben Zinsstrukturverläufe bereits mit großer Realitätsnähe, ihre Beschränkung auf eine einzige unabhängige Variable stellt allerdings ein häufig kritisiertes Manko dar. Sie bilden jedoch einen entscheidenden Ausgangspunkt für weiterführende Gleichgewichtsmodelle, die mehrere Variablen in die Betrachtungen einbeziehen und teilweise auf Forward Rates als Modellfaktoren abstellen, um Nachteilen der Short Rate, u. a. bei der Kalibrierung der Modelle, zu entgehen.¹¹⁰

3. Verfahren zur Schätzung von Zinsstrukturen

3.1 Einführung

Die theoretischen Modelle zur Erklärung von Zinsstrukturen bauen auf der Annahme auf, dass es sich bei den am Markt gehandelten Anleihen ausschließlich um Zerobonds handelt und dass für jede beliebige Laufzeit Anleihen gehandelt werden, so dass ein Marktpreis feststellbar ist. Zudem wird angenommen, dass risikolose Arbitragemöglichkeiten nicht vorhanden sind. Auf einem solchen idealen Markt lässt sich die Zinsstruktur der Wertpapiere analog zu (1 TBA) mit den Rückzahlungsbeträgen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für Anleihen der Restlaufzeit m direkt ermitteln als:¹¹¹

(19) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bzw. unter Verwendung der Diskontierungsfunktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, die durch einen fallenden Verlauf gekennzeichnet ist, als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten , mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Umformen ergibt sich die Zinsstruktur:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die unterstellten Annahmen entsprechen jedoch nicht der realen Situation auf den Rentenmärkten. Zum einen kann nicht davon ausgegangen werden, dass Marktpreise unter der Bedingung von Arbitragefreiheit zustande gekommen sind, zum anderen werden nicht Anleihen für sämtliche mögliche Restlaufzeiten gehandelt, d. h. der Markt ist nicht vollständig. Weiterhin stellt der überwiegende Teil der am Markt befindlichen Wertpapiere nicht Zerobonds, sondern Kuponanleihen dar.

Die im Folgenden dargestellten Schätzverfahren werden jedoch unter Annahme der Ermittlung einer auf Zerobonds beruhenden Zinsstruktur beschrieben, da dies in der Praxis inzwischen die dominierende Vorgehensweise darstellt¹¹² und somit eine erhöhte internationale Vergleichbarkeit der Ergebnisse der Schätzungen gegeben ist.¹¹³ Dazu wird davon ausgegangen, dass Zerobondzinssätze aus Effektivrenditen abgeleitet werden.

In den folgenden Kapiteln wird zunächst ein diskretes Schätzverfahren, das lediglich für bestimmte Laufzeiten einen Zusammenhang zur Verzinsung von Anleihen herstellt, und danach stetige Schätzverfahren behandelt, die einen funktionalen Zusammenhang zwischen der Restlaufzeit von Anleihen und der Spot Rate unterstellen. Letztere bieten daher auch die Möglichkeit, Zinssätze für Anleihen nicht häufig gehandelter Restlaufzeiten in wenig liquiden Marktsegmenten zu bestimmen, während bei diskreten Schätzverfahren auf Interpolation zurückgegriffen werden muss. Verfahren zur Ermittlung der stetigen Zinsstruktur müssen nach Bliss drei wesentliche Bestandteile haben, damit eine Schätzung erst möglich wird:¹¹⁴

[...]

---

¹ Vgl. z. B. Carleton/Cooper (1976), S. 1069-1071, Deppner (1992), S. 93-120.

² Vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 185.

³ Vgl. u. a. Bierwag (1987).

⁴ Sog. „Riding the Yield Curve“, vgl. u. a. Walz/Weber (1989), S. 135-137.

⁵ Vgl. Schich (1997), S. 1.

⁶ Vgl. Filc (1998), S. 149 ff.

⁷ Vgl. Kath (1972), S. 29.

⁸ Im Folgenden nur als Wertpapiere bezeichnet.

⁹ Vgl. Filc (1998), S. 124.

¹⁰ Vgl. Kath (1972), S. 30.

¹¹ Vgl. ebd. Vgl. Kath (1972), S. 30.

¹² Vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 185 f.

¹³ Vgl. Deutsche Bundesbank (1997), S. 62 f.

¹⁴ Vgl. Filc (1998), S. 124 Fn. 71.

¹⁵ Vgl. Vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 187.

¹⁶ Vgl. Svensson (1994), S. 2.

¹⁷ Vgl. Csajbok (1999), S.10, Hesse/Roth kommen allerdings zu dem Ergebnis, dass der Zinsstruktur als Indikator der Geldpolitik nur in relativ geschlossenen Volkswirtschaften eine Bedeutung zukommt, vgl. Hesse/Roth (1992), S. 19 f.

¹⁸ Vgl. Svensson (1994), S. 1, Csajbok (1999), S.10.

¹⁹ Vgl. Deutsche Bundesbank (1997), S. 66.

²⁰ Vgl. Wasmund (1999), S. 26.

²¹ Vgl. Anker (1993), S. 14.

²² Vgl. ebd. (Anker (1993), S. 14.)

²³ Vgl. Kath (1972), S. 33.

²⁴ Vgl. Robinson (1952), S. 3-30.

²⁵ Fisher (1930), S. 70.

²⁶ Nicht alle Prämissen werden von Fisher explizit aufgeführt, sie ergeben sich jedoch aus den Modellaussagen. Die Aufstellung erfolgt in Anlehnung an Faßbender (1973), S. 23 und Kath (1972), S. 37 f.

²⁷ Vgl. Fisher (1930), S. 81-83, S. 125.

²⁸ Vgl. ebd., Fisher (1930), S. 104-106.

²⁹ Vgl. Wasmund (1999), S. 33.

³⁰ Unter Verwendung von , vgl. dazu Levin (1996), S. 25, Wasmund (1999), S. 27.

³¹ Vgl. Cox/Ingersoll/Ross (1985b), S. 385, Wasmund (1999), S. 34.

³² Vgl. Deutsche Bundesbank (1991), S. 41, Fassbender (1977), S. 99.

³³ Vgl. Wasmund (1999), S. 34.

³⁴ Vgl. Kath (1972), S. 37.

³⁵ Vgl. Malkiel (1966), S. 23 f., Hicks (1946), S. 145 ff.

³⁶ Vgl. Lutz (1940), S. 41 ff., Lutz (1967), S. 185 f.

³⁷ Vgl. ebd., S. 46-48 bzw. S. 187. Vgl. Lutz (1940), S. 46-48., Lutz (1967), S. 187.

³⁸ Vgl. Lutz (1940), S. 48.

³⁹ Vgl. Kath (1972), S. 40 u. 42.

⁴⁰ Vgl. Lutz (1940), S. 48 f., Lutz (1967), S. 188.

⁴¹ Vgl. ebd. S. 50 bzw. S. 189.Vgl. Lutz (1940), S. 50, Lutz (1967), S. 189.

⁴² Vgl. Lutz (1940), S. 55 f.

⁴³ Lucket verdeutlicht das Problem anhand eines Investors, der am Vorabend des 2. Weltkrieges versucht, die kurzfristigen Zinssätze der nächsten 15 bis 20 Jahre zu prognostizieren. Robinson zeigt auf, dass es nicht möglich ist, „from today till Kingdom come“ zukünftige Zinssätze zu ermitteln. Vgl. Lucket (1959), S. 141, Robinson (1951), S. 102 Fn. 20.

⁴⁴ Vgl. Malkiel (1962), S. 206, Malkiel (1966), S. 59 f.

⁴⁵ Vgl. ebd. S. 207 bzw. S. 61.

⁴⁶ Vgl. dazu ausführlich Malkiel (1962), S. 210 Tab. II u. S. 212 Tab. III, Malkiel (1966), S. 62 Tab. 3-2 u. S. 66 Tab. 3-3, Kath (1972), S. 47 Tab. 3.

⁴⁷ Vgl. Malkiel (1962), S. 213, Malkiel (1966), S. 67 f.

⁴⁸ Vgl. ebd., S. 201 f. bzw. 54 f.

⁴⁹ Vgl. Kath (1972), S. 51.

⁵⁰ Vgl. Hicks (1946), S. 146 f.

⁵¹ Vgl. ebd., Hicks (1946), S. 146.

⁵² Vgl. Bierwag (1989), S. 83.

⁵³ Vgl. Hicks (1946), S. 147.

⁵⁴ Vgl. Wasmund (1999), S. 37.

⁵⁵ Vgl. Walz/Weber (1989), S. 134, Bierwag (1989), S. 85.

⁵⁶ Vgl. Hicks (1946), S. 147.

⁵⁷ Vgl. Kath (1972), S. 63.

⁵⁸ Vgl. Robinson (1951), S. 95 f., Robinson (1952), S. 8 f.

⁵⁹ Vgl. Faßbender (1973), S. 34.

⁶⁰ Vgl. dazu ausführlich Faßbender (1977), S. 100 f.

⁶¹ Vgl. Culbertson (1965).

⁶² Vgl. Culbertson (1957), S. 494 ff., Levin (1996), S. 38.

⁶³ Vgl. Culbertson (1957), S. 489.

⁶⁴ Vgl. Bierwag (1989), S. 86.

⁶⁵ Vgl. Levin (1966), S. 38 f.

⁶⁶ Vgl. Wasmund (1999), S. 38, Bierwag (1989), S. 87, Faßbender (1973), S. 35.

⁶⁷ Vgl. Walz/Weber (1989), S. 135, Kath (1972), S. 54.

⁶⁸ Vgl. Walz/Weber (1989), S. 135.

⁶⁹ Vgl. Deppner (1992), S. 19, Levin (1996), S. 40.

⁷⁰ Vgl. Faßbender (1977), S. 102.

⁷¹ Sog. „Operation Twist“ der Kennedy-Administration in der ersten Hälfte der 60er Jahre.

⁷² Vgl. Modigliani/Sutch (1966), S. 183.

⁷³ Vgl. ebd. S. 184.

⁷⁴ Vgl. ebd.

⁷⁵ Vgl. Deppner (1992), S. 20.

⁷⁶ Vgl. Levin (1996), S. 39.

⁷⁷ Vgl. Cox/Ingersoll/Ross (1981), S. 784.

⁷⁸ Vgl. Wasmund (1999), S. 36 f.

⁷⁹ Vgl. Walz/Weber (1989), S. 135.

⁸⁰ Für einen einführenden Überblick über zeitstetige Gleichgewichtsmodelle vgl. u. a. Bierwag (1989), S. 92-94, eine Ausführliche Beschreibung findet sich u. a. in Rudolf (2000).

⁸¹ Vgl. Pichler (1995), S. 57.

⁸² Vgl. Rudolf (2000), S. 40.

⁸³ Vgl. Vasicek (1977), S. 185.

⁸⁴ Vgl. Anderson et al. (1996), S. 76.

⁸⁵ Vgl. Röhrs (1991), S. 921.

⁸⁶ Vgl. Rudolf (2000), S. 42.

⁸⁷ Vgl. Vasicek (1977), S. 186.

⁸⁸ Vgl. Pichler (1995), S. 58.

⁸⁹ Vgl. Dankenbring (1999), S. 83.

⁹⁰ Vgl. Cox/Ingersoll/Ross (1985a).

⁹¹ Vgl. Cox/Ingersoll/Ross (1985b), S. 386.

⁹² Vgl. Deppner (1992), S. 22.

⁹³ Vgl. Cox/Ingersoll/Ross (1985b), S. 391, Anderson et al. (1996), S. 76.

⁹⁴ Vgl. Rudolf (2000), S. 46.

⁹⁵ Vgl. Bierwag (1989), S. 92, Anderson et al. (1996), S. 77.

⁹⁶ Vgl. Cox/Ingersoll/Ross (1985b), S. 393.

⁹⁷ Vgl. ebd.

⁹⁸ Vgl. dazu ausführlich Anderson et al. (1996), S. 79.

⁹⁹ Vgl. ebd., S. 80.

¹⁰⁰ Vgl. Walz/Weber (1989), S. 135, Anderson et al. (1996), S. 77.

¹⁰¹ Vgl. Cox/Ingersoll/Ross (1985b), S. 398 ff.

¹⁰² Vgl. Anderson et al. (1996), S. 78.

¹⁰³ Vgl. Wasmund (1999), S. 38.

¹⁰⁴ Vgl. Bierwag (1989), S. 105.

¹⁰⁵ Vgl. Culbertson (1957), S. 506 ff.

¹⁰⁶ Vgl. Levin (1996), S. 28 Fn. 17.

¹⁰⁷ Vgl. Meiselmann (1962), S. 19.

¹⁰⁸ Vgl. Kath (1972), S. 59.

¹⁰⁹ Vgl. Michaelsen (1963).

¹¹⁰ Vgl. dazu ausführlich Rudolf (2000), S. 54.

¹¹¹ Vgl. Pichler (1995), S. 31.

¹¹² Vgl. Binder et al. (2000), S. 132 Tab. 1.

¹¹³ Vgl. Deutsche Bundesbank (1997), S. 62.

¹¹⁴ Vgl. Bliss (1996), S. 4.